4.9 将 (z)=dfrac (1)({z)^2-5z+6} 分别在其有限孤立奇点处展开为洛朗级数.

步骤 1：确定函数的奇点
函数 $f(z)=\dfrac {1}{{z}^{2}-5z+6}$ 的分母可以分解为 $(z-2)(z-3)$，因此函数的奇点为 $z=2$ 和 $z=3$。这两个奇点都是有限孤立奇点。

步骤 2：在 $0\lt |z-2|\lt 1$ 内展开为洛朗级数
在 $0\lt |z-2|\lt 1$ 内，$z-2$ 的绝对值小于1，因此可以将 $f(z)$ 写为 $\dfrac {1}{(z-2)(z-3)}$，并将其展开为 $\dfrac {1}{z-2}\cdot \dfrac {1}{1-(z-2)}$。利用几何级数公式，可以得到 $f(z)=-\sum _{n=0}^{\infty }{(z-2)}^{n-1}$。

步骤 3：在 $1\lt |z-2|\lt +\infty $ 内展开为洛朗级数
在 $1\lt |z-2|\lt +\infty $ 内，$z-2$ 的绝对值大于1，因此可以将 $f(z)$ 写为 $\dfrac {1}{(z-2)(z-3)}$，并将其展开为 $\dfrac {1}{z-2}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z-2}}$。利用几何级数公式，可以得到 $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {1}{{(z-2)}^{n+2}}$。

步骤 4：在 $0\lt |z-3|\lt 1$ 内展开为洛朗级数
在 $0\lt |z-3|\lt 1$ 内，$z-3$ 的绝对值小于1，因此可以将 $f(z)$ 写为 $\dfrac {1}{(z-2)(z-3)}$，并将其展开为 $\dfrac {1}{z-3}\cdot \dfrac {1}{1-(z-3)}$。利用几何级数公式，可以得到 $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(z-3)}^{n-1}$。

步骤 5：在 $1\lt |z-3|\lt +\infty $ 内展开为洛朗级数
在 $1\lt |z-3|\lt +\infty $ 内，$z-3$ 的绝对值大于1，因此可以将 $f(z)$ 写为 $\dfrac {1}{(z-2)(z-3)}$，并将其展开为 $\dfrac {1}{z-3}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z-3}}$。利用几何级数公式，可以得到 $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{{(z-3)}^{n+2}}$。