题目
已知函数 y=y(x) 在任意点x处的增早 Delta y=dfrac (yDelta x)(1+{x)^2}+-|||-α,且当 Delta xarrow 0 时,α是 Delta x 的高阶无穷小, (0)=1,-|||-则 '(0)= ()-|||-(A)2π (B)π (C) ^dfrac (pi {4)} (D)1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目给出函数 y=y(x) 在任意点 x 处的增量 $\Delta y=\dfrac {y\Delta x}{1+{x}^{2}}+$ α，其中 α 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。这意味着当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，α 的增长速度比 $\Delta x$ 更快，即 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$。同时，题目给出 y(0)=1，要求求出 y'(0) 的值。
步骤 2：求导数
根据导数的定义，$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。将 $\Delta y$ 的表达式代入，得到 $y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{y\Delta x}{1+x^2} + \alpha}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y}{1+x^2} + \frac{\alpha}{\Delta x}$。由于 $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，所以 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$，因此 $y'(x) = \frac{y}{1+x^2}$。
步骤 3：求 y'(0)
将 x=0 代入导数表达式，得到 $y'(0) = \frac{y(0)}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$。
题目给出函数 y=y(x) 在任意点 x 处的增量 $\Delta y=\dfrac {y\Delta x}{1+{x}^{2}}+$ α，其中 α 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。这意味着当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，α 的增长速度比 $\Delta x$ 更快，即 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$。同时，题目给出 y(0)=1，要求求出 y'(0) 的值。
步骤 2：求导数
根据导数的定义，$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。将 $\Delta y$ 的表达式代入，得到 $y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{y\Delta x}{1+x^2} + \alpha}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y}{1+x^2} + \frac{\alpha}{\Delta x}$。由于 $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，所以 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha}{\Delta x} = 0$，因此 $y'(x) = \frac{y}{1+x^2}$。
步骤 3：求 y'(0)
将 x=0 代入导数表达式，得到 $y'(0) = \frac{y(0)}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$。