题目
二、填空题 设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,BC=0 ,若P ( A) =P ( B) = 1/2, P ( AC| ABU C) = 1/4,则 P ( C) = 。[数一 2018 研]
二、填空题 设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,BC=0 ,若P ( A) =P ( B) = 1/2, P ( AC| ABU C) = 1/4,则 P ( C) = 。[数
一 2018 研]
题目解答
答案
[答案]1/4查看答案
[解析]计算如下
P(AC\AB^C)= | 尸(貝 CDQIBUC)) _ P(AB u C) PE P ⑷ P(B) + F(C) - P(ABC) _ 1 4 |
代入P ( A)、P ( B),可得⏺
解析
步骤 1：理解条件和公式
题目给出的条件是随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=0，P(A) = P(B) = 1/2，P(AC|AB∪C) = 1/4。我们需要求P(C)。
步骤 2：应用条件概率公式
根据条件概率公式，P(AC|AB∪C) = P(AC∩(AB∪C)) / P(AB∪C)。由于BC=0，即B和C互斥，所以AC∩(AB∪C) = AC。
步骤 3：计算P(AC∩(AB∪C))和P(AB∪C)
P(AC∩(AB∪C)) = P(AC) = P(A)P(C) = (1/2)P(C)。
P(AB∪C) = P(AB) + P(C) - P(ABC) = P(A)P(B) + P(C) - P(A)P(B)P(C) = (1/2)(1/2) + P(C) - (1/2)(1/2)P(C) = 1/4 + P(C) - 1/4P(C)。
步骤 4：代入条件概率公式
P(AC|AB∪C) = P(AC) / P(AB∪C) = (1/2)P(C) / (1/4 + P(C) - 1/4P(C)) = 1/4。
步骤 5：解方程求P(C)
(1/2)P(C) / (1/4 + P(C) - 1/4P(C)) = 1/4，化简得P(C) = 1/4。
题目给出的条件是随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=0，P(A) = P(B) = 1/2，P(AC|AB∪C) = 1/4。我们需要求P(C)。
步骤 2：应用条件概率公式
根据条件概率公式，P(AC|AB∪C) = P(AC∩(AB∪C)) / P(AB∪C)。由于BC=0，即B和C互斥，所以AC∩(AB∪C) = AC。
步骤 3：计算P(AC∩(AB∪C))和P(AB∪C)
P(AC∩(AB∪C)) = P(AC) = P(A)P(C) = (1/2)P(C)。
P(AB∪C) = P(AB) + P(C) - P(ABC) = P(A)P(B) + P(C) - P(A)P(B)P(C) = (1/2)(1/2) + P(C) - (1/2)(1/2)P(C) = 1/4 + P(C) - 1/4P(C)。
步骤 4：代入条件概率公式
P(AC|AB∪C) = P(AC) / P(AB∪C) = (1/2)P(C) / (1/4 + P(C) - 1/4P(C)) = 1/4。
步骤 5：解方程求P(C)
(1/2)P(C) / (1/4 + P(C) - 1/4P(C)) = 1/4，化简得P(C) = 1/4。