二、填空题 设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,BC=0 ,若P ( A) =P ( B) = 1/2, P ( AC| ABU C) = 1/4,则 P ( C) = 。[数一 2018 研]

考查要点：本题主要考查事件的独立性、互斥性以及条件概率的计算。需要综合运用独立事件的性质、互斥事件的概率加法公式，以及条件概率的定义式进行推导。

解题核心思路：

1. 利用独立性简化联合概率：由于A与B、A与C独立，可直接用乘法公式计算相关联合概率。
2. 处理互斥事件：B与C互斥，说明它们的交集概率为0，从而简化并事件的概率计算。
3. 条件概率公式应用：将条件概率表达式展开，结合上述简化后的概率关系，建立方程求解未知量P(C)。

破题关键点：

• 明确事件关系：正确识别独立性和互斥性对概率计算的影响。
• 拆分并事件：利用B与C互斥，将P(AB∪C)拆分为P(AB)+P(C)。
• 分子化简：通过事件关系分析，确定分子P(AC∩(AB∪C))等于P(AC)。

条件概率展开：
根据条件概率公式：
$P(AC \mid AB \cup C) = \frac{P(AC \cap (AB \cup C))}{P(AB \cup C)}.$

分子化简：

• 由于B与C互斥，当C发生时，B必然不发生，因此AB与C互斥。
• 交集$AC \cap (AB \cup C)$可分解为$AC \cap AB \cup AC \cap C$。
• 但$AC \cap AB = ABC = \emptyset$（因B与C互斥），故分子简化为$P(AC \cap C) = P(AC)$。

分母计算：

• 由于AB与C互斥，$P(AB \cup C) = P(AB) + P(C)$。
• 由独立性，$P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

代入条件概率公式：
$\frac{P(AC)}{P(AB) + P(C)} = \frac{1}{4}.$

联合概率计算：

• 由A与C独立，$P(AC) = P(A)P(C) = \frac{1}{2}P(C)$。

建立方程：
$\frac{\frac{1}{2}P(C)}{\frac{1}{4} + P(C)} = \frac{1}{4}.$

解方程：

1. 交叉相乘得：
   $\frac{1}{2}P(C) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4} + P(C)\right).$
2. 展开并整理：
   $\frac{1}{2}P(C) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4}P(C).$
3. 移项得：
   $\frac{1}{4}P(C) = \frac{1}{16} \implies P(C) = \frac{1}{4}.$