题目
与向量overrightarrow (a)=(1,0,-1) overrightarrow (b)=(1,1,1)，同时垂直的单位向量为_______.
与向量
，同时垂直的单位向量为_______.
题目解答
答案
设与向量
同时垂直的向量为
.
则
.
令
，代入
可得
，即
，令
，则
，所以
.
，则单位向量为
故答案为：
或
.
解析
步骤 1：确定垂直向量
设与向量$\overrightarrow {a}=(1,0,-1)$和$\overrightarrow {b}=(1,1,1)$同时垂直的向量为$\overrightarrow {c}=(x,y,z)$。根据向量垂直的条件，$\overrightarrow {c}$与$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的点积都为0，即$\overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {a}=0$和$\overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {b}=0$。因此，我们有以下方程组：
$$
\begin{cases}
x - z = 0 \\
x + y + z = 0
\end{cases}
$$
步骤 2：求解方程组
从第一个方程$x - z = 0$，我们得到$x = z$。将$x = z$代入第二个方程$x + y + z = 0$，得到$2x + y = 0$，即$y = -2x$。因此，$\overrightarrow {c}=(x,-2x,x)$。为了方便，我们可以选择$x=1$，则$\overrightarrow {c}=(1,-2,1)$。
步骤 3：求单位向量
向量$\overrightarrow {c}$的模长为$|\overrightarrow {c}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}$。因此，与$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$同时垂直的单位向量为$\pm \dfrac{\overrightarrow {c}}{|\overrightarrow {c}|}=\pm \dfrac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}}=\pm (\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{2}{\sqrt{6}},\dfrac{1}{\sqrt{6}})$。简化后，单位向量为$\pm (\dfrac{\sqrt{6}}{6},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{6}}{6})$。
设与向量$\overrightarrow {a}=(1,0,-1)$和$\overrightarrow {b}=(1,1,1)$同时垂直的向量为$\overrightarrow {c}=(x,y,z)$。根据向量垂直的条件，$\overrightarrow {c}$与$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的点积都为0，即$\overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {a}=0$和$\overrightarrow {c}\cdot \overrightarrow {b}=0$。因此，我们有以下方程组：
$$
\begin{cases}
x - z = 0 \\
x + y + z = 0
\end{cases}
$$
步骤 2：求解方程组
从第一个方程$x - z = 0$，我们得到$x = z$。将$x = z$代入第二个方程$x + y + z = 0$，得到$2x + y = 0$，即$y = -2x$。因此，$\overrightarrow {c}=(x,-2x,x)$。为了方便，我们可以选择$x=1$，则$\overrightarrow {c}=(1,-2,1)$。
步骤 3：求单位向量
向量$\overrightarrow {c}$的模长为$|\overrightarrow {c}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}$。因此，与$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$同时垂直的单位向量为$\pm \dfrac{\overrightarrow {c}}{|\overrightarrow {c}|}=\pm \dfrac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}}=\pm (\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{2}{\sqrt{6}},\dfrac{1}{\sqrt{6}})$。简化后，单位向量为$\pm (\dfrac{\sqrt{6}}{6},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{6}}{6})$。