题目
练习2 (2004,3)设n阶矩阵A的伴随矩阵A^* neq 0,若xi_(1),xi_(2),xi_(3),xi_(4)是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系 (A.)不存在. (B.)仅含一个非零解向量. (C.)含有两个线性无关的解向量. (D.)含有三个线性无关的解向量.
练习2 (2004,3)设n阶矩阵A的伴随矩阵$A^{*} \neq 0$,若$\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3},\xi_{4}$是非齐次线性方程组$Ax=b$的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系 (
A.)不存在. (
B.)仅含一个非零解向量. (
C.)含有两个线性无关的解向量. (
D.)含有三个线性无关的解向量.
A.)不存在. (
B.)仅含一个非零解向量. (
C.)含有两个线性无关的解向量. (
D.)含有三个线性无关的解向量.
题目解答
答案
已知 $A^* \neq 0$，则 $R(A^*) \geq 1$。根据伴随矩阵的秩与原矩阵的关系：
- 若 $R(A) = n$，则 $R(A^*) = n$；
- 若 $R(A) = n-1$，则 $R(A^*) = 1$；
- 若 $R(A) < n-1$，则 $R(A^*) = 0$。
由于 $A^* \neq 0$，$R(A)$ 可为 $n$ 或 $n-1$。又因 $Ax = b$ 有互不相等的解，故 $R(A) < n$，从而 $R(A) = n-1$。
齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系所含向量数为 $n - R(A) = 1$，即仅含一个非零解向量。
**答案：B**
解析
步骤 1：分析伴随矩阵的秩与原矩阵的关系
已知 $A^* \neq 0$，则 $R(A^*) \geq 1$。根据伴随矩阵的秩与原矩阵的关系：
- 若 $R(A) = n$，则 $R(A^*) = n$；
- 若 $R(A) = n-1$，则 $R(A^*) = 1$；
- 若 $R(A) < n-1$，则 $R(A^*) = 0$。
由于 $A^* \neq 0$，$R(A)$ 可为 $n$ 或 $n-1$。
步骤 2：确定非齐次线性方程组解的情况
又因 $Ax = b$ 有互不相等的解，故 $R(A) < n$，从而 $R(A) = n-1$。
步骤 3：确定齐次线性方程组的基础解系
齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系所含向量数为 $n - R(A) = 1$，即仅含一个非零解向量。
已知 $A^* \neq 0$，则 $R(A^*) \geq 1$。根据伴随矩阵的秩与原矩阵的关系：
- 若 $R(A) = n$，则 $R(A^*) = n$；
- 若 $R(A) = n-1$，则 $R(A^*) = 1$；
- 若 $R(A) < n-1$，则 $R(A^*) = 0$。
由于 $A^* \neq 0$，$R(A)$ 可为 $n$ 或 $n-1$。
步骤 2：确定非齐次线性方程组解的情况
又因 $Ax = b$ 有互不相等的解，故 $R(A) < n$，从而 $R(A) = n-1$。
步骤 3：确定齐次线性方程组的基础解系
齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系所含向量数为 $n - R(A) = 1$，即仅含一个非零解向量。