题目
4】(1993，数三) int (tan x)/(sqrt(cos x))dx=____.
4】(1993，数三) $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx=$____.
题目解答
答案
要解决积分 $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx$，我们将使用代换法。让我们详细地走过每一步。
1. **识别代换：**
我们知道 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。因此，积分可以重写为：
\[
\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx.
\]
设 $u = \cos x$。那么 $du = -\sin x \, dx$，或者等价地，$\sin x \, dx = -du$。
2. **代换 $u$ 和 $du$ 到积分中：**
将 $u$ 和 $\sin x \, dx$ 代入积分，我们得到：
\[
\int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx = \int \frac{-du}{u^{3/2}} = -\int u^{-3/2} \, du.
\]
3. **积分：**
$u^{-3/2}$ 的积分是：
\[
\int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{u}}.
\]
因此，我们有：
\[
-\int u^{-3/2} \, du = -\left(-\frac{2}{\sqrt{u}}\right) = \frac{2}{\sqrt{u}}.
\]
4. **代换回 $u = \cos x$：**
由于 $u = \cos x$，我们代换回得到：
\[
\frac{2}{\sqrt{u}} = \frac{2}{\sqrt{\cos x}}.
\]
5. **添加积分常数：**
不要忘记在不定积分中添加积分常数 $C$：
\[
\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \frac{2}{\sqrt{\cos x}} + C.
\]
因此，最终答案是：
\[
\boxed{\frac{2}{\sqrt{\cos x}} + C}.
\]
解析
步骤 1：识别代换
我们首先观察积分 $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx$，注意到 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，因此积分可以重写为： \[ \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx. \] 我们设 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$，或者等价地，$\sin x \, dx = -du$。
步骤 2：代换 $u$ 和 $du$ 到积分中
将 $u$ 和 $\sin x \, dx$ 代入积分，我们得到： \[ \int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx = \int \frac{-du}{u^{3/2}} = -\int u^{-3/2} \, du. \]
步骤 3：积分
$u^{-3/2}$ 的积分是： \[ \int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{u}}. \] 因此，我们有： \[ -\int u^{-3/2} \, du = -\left(-\frac{2}{\sqrt{u}}\right) = \frac{2}{\sqrt{u}}. \]
步骤 4：代换回 $u = \cos x$
由于 $u = \cos x$，我们代换回得到： \[ \frac{2}{\sqrt{u}} = \frac{2}{\sqrt{\cos x}}. \]
步骤 5：添加积分常数
不要忘记在不定积分中添加积分常数 $C$： \[ \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \frac{2}{\sqrt{\cos x}} + C. \]
我们首先观察积分 $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx$，注意到 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，因此积分可以重写为： \[ \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx. \] 我们设 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$，或者等价地，$\sin x \, dx = -du$。
步骤 2：代换 $u$ 和 $du$ 到积分中
将 $u$ 和 $\sin x \, dx$ 代入积分，我们得到： \[ \int \frac{\sin x}{\cos^{3/2} x} \, dx = \int \frac{-du}{u^{3/2}} = -\int u^{-3/2} \, du. \]
步骤 3：积分
$u^{-3/2}$ 的积分是： \[ \int u^{-3/2} \, du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2u^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{u}}. \] 因此，我们有： \[ -\int u^{-3/2} \, du = -\left(-\frac{2}{\sqrt{u}}\right) = \frac{2}{\sqrt{u}}. \]
步骤 4：代换回 $u = \cos x$
由于 $u = \cos x$，我们代换回得到： \[ \frac{2}{\sqrt{u}} = \frac{2}{\sqrt{\cos x}}. \]
步骤 5：添加积分常数
不要忘记在不定积分中添加积分常数 $C$： \[ \int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \frac{2}{\sqrt{\cos x}} + C. \]