3.试证明:极限 lim _(narrow infty )sin dfrac (npi )(2) 不存在.

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性判断，特别是通过分析数列的周期性变化来证明极限不存在。

解题核心思路：

1. 周期性分析：观察数列 $\sin \frac{n\pi}{2}$ 的取值规律，发现其周期为4，取值依次为 $1, 0, -1, 0$。
2. 子数列法：通过构造不同子数列（如奇数项、偶数项等），证明这些子数列的极限不同，从而说明原数列极限不存在。

破题关键点：

• 明确周期性：确定数列的周期性是解题的关键，周期为4时取值重复。
• 构造矛盾子数列：选取不同子数列（如奇数项、偶数项）并计算它们的极限，若极限不同则原数列极限不存在。

步骤1：分析数列的周期性
当 $n$ 取自然数时，$\sin \frac{n\pi}{2}$ 的取值如下：

• $n=1$ 时，$\sin \frac{\pi}{2} = 1$；
• $n=2$ 时，$\sin \pi = 0$；
• $n=3$ 时，$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$；
• $n=4$ 时，$\sin 2\pi = 0$；
• $n=5$ 时，$\sin \frac{5\pi}{2} = 1$，依此类推。
  可见数列的周期为4，取值依次为 $1, 0, -1, 0$。

步骤2：构造不同子数列

• 奇数项子数列：令 $n=2k+1$（$k=0,1,2,\dots$），则
  $\sin \frac{(2k+1)\pi}{2} = \sin \left(k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1.$
  因此，该子数列的极限为 $1$。
• 偶数项子数列：令 $n=2k$（$k=1,2,3,\dots$），则
  $\sin \frac{2k\pi}{2} = \sin k\pi = 0.$
  因此，该子数列的极限为 $0$。

步骤3：结论
由于存在两个子数列的极限分别为 $1$ 和 $0$，而它们的极限不相等，根据极限存在的必要条件（所有子数列的极限必须相等），原数列 $\sin \frac{n\pi}{2}$ 的极限不存在。