题目
判断级数sum _(n=1)^infty (2)^nsin dfrac (pi )({3)^n}的敛散性。
判断级数
的敛散性。
题目解答
答案
达朗贝尔判别法：对于正项级数
，如果
，则级数收敛，如果
，则级数发散。因为级数，设
，故
，根据达朗贝尔判别法可知级数收敛。
解析
步骤 1：确定级数类型
级数$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$是一个正项级数，因为${2}^{n}\gt 0$且$\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}\gt 0$对于所有的$n\geq 1$。
步骤 2：应用达朗贝尔判别法
达朗贝尔判别法（比值判别法）用于判断正项级数的敛散性。对于正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|\lt 1$，则级数收敛；如果$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|\gt 1$，则级数发散。
步骤 3：计算比值的极限
设${u}_{n}={2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$，则${u}_{n+1}={2}^{n+1}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}$。计算比值$\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}$的极限：
$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|=\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{2}^{n+1}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2\cdot \dfrac {1}{3}$
$=\dfrac {2}{3}\lt 1$
步骤 4：得出结论
根据达朗贝尔判别法，因为$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|=\dfrac {2}{3}\lt 1$，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$收敛。
级数$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$是一个正项级数，因为${2}^{n}\gt 0$且$\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}\gt 0$对于所有的$n\geq 1$。
步骤 2：应用达朗贝尔判别法
达朗贝尔判别法（比值判别法）用于判断正项级数的敛散性。对于正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|\lt 1$，则级数收敛；如果$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|\gt 1$，则级数发散。
步骤 3：计算比值的极限
设${u}_{n}={2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$，则${u}_{n+1}={2}^{n+1}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}$。计算比值$\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}$的极限：
$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|=\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{2}^{n+1}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2|\dfrac {\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}{\dfrac {\pi }{{3}^{n+1}}}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {\dfrac {\pi }{{3}^{n}}}{\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}}|$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }2\cdot \dfrac {1}{3}$
$=\dfrac {2}{3}\lt 1$
步骤 4：得出结论
根据达朗贝尔判别法，因为$\lim _{n\rightarrow \infty }|\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}|=\dfrac {2}{3}\lt 1$，所以级数$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{3}^{n}}$收敛。