题目
8.简答题-|||-设随机变量X服从参数为 theta =1 的指数分布,求关于x的方程 ^2+xx-x+8=0 无-|||-实根的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程无实根的条件
方程 ${x}^{2}+Xx-X+8=0$ 无实根的条件是判别式 $\Delta < 0$。对于一般形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式 $\Delta=b^2-4ac$。因此，对于方程 ${x}^{2}+Xx-X+8=0$，我们有 $a=1$，$b=X$，$c=-X+8$。所以判别式 $\Delta=X^2-4(1)(-X+8)=X^2+4X-32$。
步骤 2：求解不等式 $\Delta < 0$
我们需要求解不等式 $X^2+4X-32<0$。首先，解方程 $X^2+4X-32=0$，得到 $X=-8$ 或 $X=4$。因此，不等式 $X^2+4X-32<0$ 的解集是 $-8
步骤 3：计算概率
由于随机变量X服从参数为 $\theta =1$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f(x)=e^{-x}$，$x>0$。因此，我们需要计算 $P(-80$，所以实际上我们只需要计算 $P(0
步骤 4：计算积分
计算积分 $\int_{0}^{4} e^{-x} dx$，得到 $[-e^{-x}]_{0}^{4} = -e^{-4} + e^{0} = 1 - e^{-4}$。
方程 ${x}^{2}+Xx-X+8=0$ 无实根的条件是判别式 $\Delta < 0$。对于一般形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式 $\Delta=b^2-4ac$。因此，对于方程 ${x}^{2}+Xx-X+8=0$，我们有 $a=1$，$b=X$，$c=-X+8$。所以判别式 $\Delta=X^2-4(1)(-X+8)=X^2+4X-32$。
步骤 2：求解不等式 $\Delta < 0$
我们需要求解不等式 $X^2+4X-32<0$。首先，解方程 $X^2+4X-32=0$，得到 $X=-8$ 或 $X=4$。因此，不等式 $X^2+4X-32<0$ 的解集是 $-8
步骤 3：计算概率
由于随机变量X服从参数为 $\theta =1$ 的指数分布，其概率密度函数为 $f(x)=e^{-x}$，$x>0$。因此，我们需要计算 $P(-8
步骤 4：计算积分
计算积分 $\int_{0}^{4} e^{-x} dx$，得到 $[-e^{-x}]_{0}^{4} = -e^{-4} + e^{0} = 1 - e^{-4}$。