题目
【例20】(1989,数三)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的充分条件是A. lim_(h to +infty)h [ f(a+(1)/(h))-f(a) ]存 在.B. lim_(h to 0)(f(a+2h)-f(a+h))/(h)存在.C. lim_(h to 0)(f(a+h)-f(a-h))/(2h)存在.D. lim_(h to 0)(f(a)-f(a-h))/(h)存在.
【例20】(1989,数三)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的充分条件是
A. $\lim_{h \to +\infty}h\left [ f(a+\frac{1}{h})-f(a) \right ]$存 在.
B. $\lim_{h \to 0}\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$存在.
C. $\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$存在.
D. $\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在.
题目解答
答案
D. $\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在.
解析
步骤 1：分析选项A
选项A表示的是当h趋向于正无穷大时，$h\left [ f(a+\frac{1}{h})-f(a) \right ]$的极限存在。这仅表示右导数存在，无法保证左导数存在，因此不充分。
步骤 2：分析选项B
选项B表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$的极限存在。这个极限可以化简为$2f'(a) - f'(a) = f'(a)$，但存在该极限不能反推导数存在（如分段函数在间断点）。
步骤 3：分析选项C
选项C表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$的极限存在。对称导数存在不能保证导数存在（如绝对值函数在尖点）。
步骤 4：分析选项D
选项D表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$的极限存在。这个极限等价于导数定义$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$，因此是充分的。
选项A表示的是当h趋向于正无穷大时，$h\left [ f(a+\frac{1}{h})-f(a) \right ]$的极限存在。这仅表示右导数存在，无法保证左导数存在，因此不充分。
步骤 2：分析选项B
选项B表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$的极限存在。这个极限可以化简为$2f'(a) - f'(a) = f'(a)$，但存在该极限不能反推导数存在（如分段函数在间断点）。
步骤 3：分析选项C
选项C表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$的极限存在。对称导数存在不能保证导数存在（如绝对值函数在尖点）。
步骤 4：分析选项D
选项D表示的是当h趋向于0时，$\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$的极限存在。这个极限等价于导数定义$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$，因此是充分的。