[5.6]一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合格品的概率-|||-_(i)=dfrac (1)(1+i)(i=1,2,3), 以X表示3个零件中合格品的个数,求 X=2 .

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，以及如何利用加法原理和乘法原理求解恰好发生指定次数事件的概率。

解题核心思路：
题目要求计算3个零件中恰好有2个合格品的概率。由于每个零件是否合格是独立事件，需考虑所有可能的“1个不合格、2个合格”的组合情况，分别计算每种情况的概率后相加。

破题关键点：

1. 明确事件定义：设$A_i$表示第$i$个零件不合格，则合格品对应的事件为$\overline{A_i}$。
2. 确定概率关系：第$i$个零件不合格的概率为$P(A_i) = \dfrac{1}{i+1}$，合格概率为$P(\overline{A_i}) = 1 - \dfrac{1}{i+1}$。
3. 分类讨论：恰好2个合格品对应3种情况（第1个不合格、第2个不合格、第3个不合格），分别计算并求和。

步骤1：确定各零件的合格与不合格概率

• 第1个零件：
  $P(A_1) = \dfrac{1}{2}$，$P(\overline{A_1}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
• 第2个零件：
  $P(A_2) = \dfrac{1}{3}$，$P(\overline{A_2}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$
• 第3个零件：
  $P(A_3) = \dfrac{1}{4}$，$P(\overline{A_3}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

步骤2：列出所有满足$X=2$的情况
恰好2个合格品等价于恰好1个不合格品，共有3种情况：

1. 第1个不合格，第2、3个合格：
   $P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3}) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
2. 第2个不合格，第1、3个合格：
   $P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{8}$
3. 第3个不合格，第1、2个合格：
   $P(\overline{A_1} \overline{A_2} A_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$

步骤3：求和得到最终概率
将三种情况的概率相加：
$P\{X=2\} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{11}{24}$