题目
3.设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) k(6-x-y) 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常数k
根据概率密度函数的性质，整个区域上的积分应等于1。因此，我们首先计算积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy$ ，并将其设置为1，以求解常数k。
步骤 2：计算 $P\{ X\lt 1,Y\lt 3\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 1$ 和 $2\lt y\lt 3$ 上的积分，以求得 $P\{ X\lt 1,Y\lt 3\} $ 。
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 1.5\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 1.5$ 和 $2\lt y\lt 4$ 上的积分，以求得 $P\{ X\lt 1.5\} $ 。
步骤 4：计算 $P\{ X+Y\leqslant 4\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 2$ 和 $2\lt y\lt 4-x$ 上的积分，以求得 $P\{ X+Y\leqslant 4\} $ 。
根据概率密度函数的性质，整个区域上的积分应等于1。因此，我们首先计算积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy$ ，并将其设置为1，以求解常数k。
步骤 2：计算 $P\{ X\lt 1,Y\lt 3\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 1$ 和 $2\lt y\lt 3$ 上的积分，以求得 $P\{ X\lt 1,Y\lt 3\} $ 。
步骤 3：计算 $P\{ X\lt 1.5\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 1.5$ 和 $2\lt y\lt 4$ 上的积分，以求得 $P\{ X\lt 1.5\} $ 。
步骤 4：计算 $P\{ X+Y\leqslant 4\} $
根据概率密度函数，计算在给定区域 $0\lt x\lt 2$ 和 $2\lt y\lt 4-x$ 上的积分，以求得 $P\{ X+Y\leqslant 4\} $ 。