题目

下列结论正确的是（ ）.A 若A是正交矩阵，则A^-1也是正交矩阵B 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵C 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵D 若均为n阶非零矩阵，则|AB|neq0

下列结论正确的是（ ）. A 若A是正交矩阵，则$A^{-1}$也是正交矩阵 B 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D 若均为n阶非零矩阵，则$|AB|\neq0$

题目解答

答案

我们逐个分析选项，判断哪一个结论是正确的。 --- ### **A. 若A是正交矩阵，则$A^{-1}$也是正交矩阵** **定义回顾：** 一个矩阵 $A$ 是正交矩阵，当且仅当 $A^T A = I$，即 $A^{-1} = A^T$。 **分析：** 已知 $A$ 是正交矩阵，所以有： $$ A^T A = I \Rightarrow A^{-1} = A^T $$ 现在我们来看 $A^{-1}$ 是否也是正交矩阵： $$ (A^{-1})^T A^{-1} = (A^T)^T A^{-1} = A A^{-1} = I $$ 所以 $A^{-1}$ 满足正交矩阵的定义。 ✅ **结论正确。** --- ### **B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵** **定义回顾：** 一个矩阵 $A$ 是对称矩阵，当且仅当 $A^T = A$。 **分析：** 我们来看 $(AB)^T = B^T A^T = BA$（因为对称矩阵转置不变）。 所以： $$ (AB)^T = BA $$ 但 $AB$ 是对称矩阵的条件是 $(AB)^T = AB$，即： $$ BA = AB $$ 也就是说，只有当 $A$ 和 $B$ 可交换时，$AB$ 才是对称的。 但一般情况下，两个对称矩阵的乘积不一定对称，除非它们可交换。 ❌ **结论错误。** --- ### **C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵** **分析：** 虽然 $A$ 和 $B$ 都是非零矩阵，但它们的乘积 $AB$ 有可能是零矩阵。 举个反例： $$ A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} $$ $$ AB = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $$ 所以 $AB = 0$，虽然是两个非零矩阵相乘，结果却是零矩阵。 ❌ **结论错误。** --- ### **D. 若均为n阶非零矩阵，则 $|AB| \ne 0$** **分析：** 矩阵的行列式 $|AB| = |A||B|$，但如果 $A$ 或 $B$ 是奇异矩阵（即行列式为0），那么 $|AB| = 0$。 例如： $$ A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} $$ $$ |A| = 0,\quad |B| = 1 \Rightarrow |AB| = 0 $$ 所以即使两个矩阵都是非零矩阵，它们的乘积行列式也可能为0。 ❌ **结论错误。** --- ### ✅ 正确答案是：**A** --- **最终答案：** $\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查正交矩阵、对称矩阵、矩阵乘法性质及行列式的相关性质。
解题思路：

  1. 选项A：利用正交矩阵的定义，验证其逆矩阵是否满足正交条件；
  2. 选项B：通过矩阵乘法的转置性质，判断乘积是否对称；
  3. 选项C：构造反例说明非零矩阵乘积可能为零矩阵；
  4. 选项D：结合行列式的乘积性质，分析行列式是否非零。
    关键点：
  • 正交矩阵的逆矩阵等于其转置；
  • 对称矩阵乘积对称的条件是可交换；
  • 非零矩阵乘积可能为零矩阵；
  • 行列式为零与矩阵奇异性的关系。

选项A

正交矩阵的定义：若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^T A = I$，即 $A^{-1} = A^T$。
验证 $A^{-1}$ 是否正交：
$(A^{-1})^T A^{-1} = (A^T)^T A^{-1} = A A^{-1} = I$
因此 $A^{-1}$ 满足正交矩阵的定义，结论正确。

选项B

对称矩阵的定义：若 $A$ 和 $B$ 对称，则 $A^T = A$，$B^T = B$。
计算 $(AB)^T$：
$(AB)^T = B^T A^T = BA$
若 $AB$ 对称，则需 $BA = AB$，但一般情况下对称矩阵乘积不可交换，结论错误。

选项C

构造反例：
设
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
则
$AB = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$
结论错误。

选项D

行列式的性质：$|AB| = |A||B|$。
构造反例：
设
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
则 $|A| = 0$，$|B| = 1$，故 $|AB| = 0$，结论错误。