题目
【题目】问函数 u=xy^2z 在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求出此方向导数的最大值
【题目】问函数 u=xy^2z 在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求出此方向导数的最大值
题目解答
答案
【解析】【思路探索】由梯度的几何意义可知,函数u在点P沿其梯度方向的方向导数值最大,且其最大值即为函数在该点处的梯度向量的模解:由u=xy2z可知(∂u)/(∂x)=y^2z ， (∂u)/(∂y)=2xyz ， (∂u)/(∂z)=xy^2所以rd |_p=((∂u)/(∂x),(∂u)/(∂y),(∂u)/(∂z))|_p=(2,-4,1)=(2,-4,1),所以方向(2,-4,1)是函数u在点P处方向导数值最大的方向,其方向导数最大值为 √(21)
解析
步骤 1：计算函数 u=xy^2z 的偏导数
首先，我们需要计算函数 u=xy^2z 在点P(1,-1,2)处的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿各个坐标轴方向的变化率。
- 对于 x 的偏导数：(∂u)/(∂x) = y^2z
- 对于 y 的偏导数：(∂u)/(∂y) = 2xyz
- 对于 z 的偏导数：(∂u)/(∂z) = xy^2
步骤 2：计算梯度向量
梯度向量是函数在某一点处沿各个方向变化率的向量表示。在点P(1,-1,2)处，梯度向量为：
∇u = ((∂u)/(∂x), (∂u)/(∂y), (∂u)/(∂z))|_p = (y^2z, 2xyz, xy^2)|_p = (2, -4, 1)
步骤 3：确定方向导数最大值的方向
函数 u 在点P处沿其梯度方向的方向导数值最大。因此，方向导数最大值的方向为梯度向量的方向，即 (2, -4, 1)。
步骤 4：计算方向导数的最大值
方向导数的最大值即为函数在该点处的梯度向量的模。计算梯度向量的模：
|∇u| = √(2^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(4 + 16 + 1) = √21
首先，我们需要计算函数 u=xy^2z 在点P(1,-1,2)处的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿各个坐标轴方向的变化率。
- 对于 x 的偏导数：(∂u)/(∂x) = y^2z
- 对于 y 的偏导数：(∂u)/(∂y) = 2xyz
- 对于 z 的偏导数：(∂u)/(∂z) = xy^2
步骤 2：计算梯度向量
梯度向量是函数在某一点处沿各个方向变化率的向量表示。在点P(1,-1,2)处，梯度向量为：
∇u = ((∂u)/(∂x), (∂u)/(∂y), (∂u)/(∂z))|_p = (y^2z, 2xyz, xy^2)|_p = (2, -4, 1)
步骤 3：确定方向导数最大值的方向
函数 u 在点P处沿其梯度方向的方向导数值最大。因此，方向导数最大值的方向为梯度向量的方向，即 (2, -4, 1)。
步骤 4：计算方向导数的最大值
方向导数的最大值即为函数在该点处的梯度向量的模。计算梯度向量的模：
|∇u| = √(2^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(4 + 16 + 1) = √21