题目

【题目】问函数 u=xy^2z 在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求出此方向导数的最大值

题目解答

答案

【解析】【思路探索】由梯度的几何意义可知,函数u在点P沿其梯度方向的方向导数值最大,且其最大值即为函数在该点处的梯度向量的模解:由u=xy2z可知(∂u)/(∂x)=y^2z ， (∂u)/(∂y)=2xyz ， (∂u)/(∂z)=xy^2所以rd |_p=((∂u)/(∂x),(∂u)/(∂y),(∂u)/(∂z))|_p=(2,-4,1)=(2,-4,1),所以方向(2,-4,1)是函数u在点P处方向导数值最大的方向,其方向导数最大值为 √(21)

解析

考查要点：本题主要考查梯度向量的几何意义及方向导数最大值的计算。
解题思路：

梯度方向是方向导数最大的方向，最大值等于梯度向量的模长。
需要先计算函数在点P处的梯度向量，再求其模长。
关键点：

正确计算偏导数，组成梯度向量。
代入点P的坐标，求出具体数值。
计算梯度向量的模长。

步骤1：计算偏导数
函数 $u = xy^2z$ 的偏导数为：

$\frac{\partial u}{\partial x} = y^2 z$
$\frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz$
$\frac{\partial u}{\partial z} = xy^2$

步骤2：代入点P(1, -1, 2)
将 $x=1$，$y=-1$，$z=2$ 代入偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial x} = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$\frac{\partial u}{\partial y} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 2 = -4$
$\frac{\partial u}{\partial z} = 1 \cdot (-1)^2 = 1$

步骤3：确定梯度向量
梯度向量为：
$\nabla u|_P = \left( 2, -4, 1 \right)$

步骤4：计算最大方向导数
最大方向导数为梯度向量的模长：
$\|\nabla u|_P\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$