题目
对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率是多少?
对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为$98\%$，而当机器发生某种故障时，其合格率为$55\%$.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为$95\%$.试求某日早上的第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率是多少?
题目解答
答案
【答案】
$0.97$
【解析】
设$A$为事件“产品合格”,$B$为事件“机器调整得良好”,
则有$P(A\mid B)=0.98$,$P(A\mid \overline{B})=0.55$,$P\left(B\right)=0.95$,$P\left(\overline{B}\right)=0.05$,
所以所求概率为：
$P(B\mid A)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$
$=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)}$
$=\frac{P(A\mid B)P\left(B\right)}{P(A\mid B)P\left(B\right)+P(A\mid \overline{B})P\left(\overline{B}\right)}$
$=\frac{0.98\times 0.95}{0.98\times 0.95+0.55\times 0.05}\approx 0.97$,
即当生产第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约为$0.97$.
故答案为：$0.97$.
解析
步骤 1：定义事件
设$A$为事件“产品合格”，$B$为事件“机器调整得良好”，则有$P(A\mid B)=0.98$，$P(A\mid \overline{B})=0.55$，$P\left(B\right)=0.95$，$P\left(\overline{B}\right)=0.05$。
步骤 2：计算$P(B\mid A)$
根据贝叶斯公式，所求概率为$P(B\mid A)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$，其中$P\left(A\right)=P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)$。
步骤 3：代入计算
$P(B\mid A)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)}=\frac{P(A\mid B)P\left(B\right)}{P(A\mid B)P\left(B\right)+P(A\mid \overline{B})P\left(\overline{B}\right)}=\frac{0.98\times 0.95}{0.98\times 0.95+0.55\times 0.05}\approx 0.97$。
设$A$为事件“产品合格”，$B$为事件“机器调整得良好”，则有$P(A\mid B)=0.98$，$P(A\mid \overline{B})=0.55$，$P\left(B\right)=0.95$，$P\left(\overline{B}\right)=0.05$。
步骤 2：计算$P(B\mid A)$
根据贝叶斯公式，所求概率为$P(B\mid A)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$，其中$P\left(A\right)=P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)$。
步骤 3：代入计算
$P(B\mid A)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)}=\frac{P(A\mid B)P\left(B\right)}{P(A\mid B)P\left(B\right)+P(A\mid \overline{B})P\left(\overline{B}\right)}=\frac{0.98\times 0.95}{0.98\times 0.95+0.55\times 0.05}\approx 0.97$。