对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率是多少?

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率和全概率公式的理解与计算。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设$B$为“机器调整良好”，$A$为“产品合格”。
2. 构建概率关系：利用题目给出的条件概率$P(A|B)$和$P(A|\overline{B})$，结合先验概率$P(B)$，通过全概率公式计算$P(A)$，再用贝叶斯定理求解后验概率$P(B|A)$。
3. 关键点：正确区分条件概率的方向，避免混淆分子和分母的计算。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设$B$为“机器调整良好”，$\overline{B}$为“机器发生故障”。
• 设$A$为“产品合格”。
• 已知：
  • $P(A|B) = 0.98$（调整良好时合格率）
  • $P(A|\overline{B}) = 0.55$（故障时合格率）
  • $P(B) = 0.95$（调整良好的先验概率）
  • $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.05$

步骤2：应用全概率公式计算$P(A)$
根据全概率公式：
$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B})$
代入数值：
$P(A) = 0.98 \times 0.95 + 0.55 \times 0.05 = 0.931 + 0.0275 = 0.9585$

步骤3：应用贝叶斯定理求$P(B|A)$
根据贝叶斯定理：
$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{0.98 \times 0.95}{0.9585} \approx \frac{0.931}{0.9585} \approx 0.971$
保留两位小数，结果为$0.97$。