题目
例 56 求函数 =dfrac (1)({e)^dfrac (x{x-2)-1}}的间断点,并判断类型.
例 56 求函数 
的间断点,并判断类型.
题目解答
答案
解：
定义域为
当
∴x=0为y的无穷间断点
∴
∴
∴x=2为y的跳跃间断点
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $y=\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}$ 的定义域为 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1\neq 0$，即 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\neq 1$。由于 ${e}^{0}=1$，因此 $\dfrac {x}{x-2}\neq 0$，即 $x\neq 0$。同时，分母 $x-2$ 不能为零，即 $x\neq 2$。因此，函数的定义域为 $x\neq 0$ 且 $x\neq 2$。
步骤 2：分析间断点
函数在 $x=0$ 和 $x=2$ 处可能有间断点。需要分别分析这两个点的极限情况。
步骤 3：分析 $x=0$ 处的极限
当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow 0^{-}$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow {e}^{0^{-}}=0$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}y=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{0-1}=-1$。当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow 0^{+}$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow {e}^{0^{+}}=+\infty$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}y=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{+\infty }=0$。由于 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}y\neq \lim _{x\rightarrow 0^{-}}y$，因此 $x=0$ 为跳跃间断点。
步骤 4：分析 $x=2$ 处的极限
当 $x\rightarrow 2^{+}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow +\infty$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow +\infty$，所以 $\lim _{x\rightarrow 2^{+}}y=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{+\infty }=0$。当 $x\rightarrow 2^{-}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow -\infty$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow 0$，所以 $\lim _{x\rightarrow 2^{-}}y=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{0-1}=-1$。由于 $\lim _{x\rightarrow 2^{+}}y\neq \lim _{x\rightarrow 2^{-}}y$，因此 $x=2$ 为跳跃间断点。
函数 $y=\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}$ 的定义域为 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1\neq 0$，即 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\neq 1$。由于 ${e}^{0}=1$，因此 $\dfrac {x}{x-2}\neq 0$，即 $x\neq 0$。同时，分母 $x-2$ 不能为零，即 $x\neq 2$。因此，函数的定义域为 $x\neq 0$ 且 $x\neq 2$。
步骤 2：分析间断点
函数在 $x=0$ 和 $x=2$ 处可能有间断点。需要分别分析这两个点的极限情况。
步骤 3：分析 $x=0$ 处的极限
当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow 0^{-}$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow {e}^{0^{-}}=0$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}y=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{0-1}=-1$。当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow 0^{+}$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow {e}^{0^{+}}=+\infty$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0^{-}}y=\lim _{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{+\infty }=0$。由于 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}y\neq \lim _{x\rightarrow 0^{-}}y$，因此 $x=0$ 为跳跃间断点。
步骤 4：分析 $x=2$ 处的极限
当 $x\rightarrow 2^{+}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow +\infty$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow +\infty$，所以 $\lim _{x\rightarrow 2^{+}}y=\lim _{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{+\infty }=0$。当 $x\rightarrow 2^{-}$ 时，$\dfrac {x}{x-2}\rightarrow -\infty$，因此 ${e}^{\dfrac {x}{x-2}}\rightarrow 0$，所以 $\lim _{x\rightarrow 2^{-}}y=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}\dfrac {1}{{e}^{\dfrac {x}{x-2}}-1}=\dfrac {1}{0-1}=-1$。由于 $\lim _{x\rightarrow 2^{+}}y\neq \lim _{x\rightarrow 2^{-}}y$，因此 $x=2$ 为跳跃间断点。