六、设有含参数λ的线性方程组-|||- ) (x)_(1)+lambda (x)_(2)-(x)_(3)=0 (x)_(1)-(x)_(2)+lambda (x)_(3)=2 2(x)_(1)-(x)_(2)+(x)_(3)=3 .-|||-问λ取何值时,此方程组有唯一解,无解,无穷多解?在有无穷多解时求通-|||-解(10分).

步骤 1：计算系数矩阵的行列式
首先，我们计算系数矩阵的行列式，以确定方程组的解的情况。
系数矩阵为：$\left [ \begin{matrix} 1& \lambda & -1\\ 1& -1& \lambda \\ 2& -1& 1\end{matrix} ] \right.$
行列式为：$\left |\begin{matrix} 1& \lambda & -1\\ 1& -1& \lambda \\ 2& -1& 1\end{matrix} | \right.$
计算行列式：$1 \cdot (-1 \cdot 1 - \lambda \cdot (-1)) - \lambda \cdot (1 \cdot 1 - \lambda \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2)$
$= 1 \cdot (-1 + \lambda) - \lambda \cdot (1 - 2\lambda) - 1 \cdot (-1 + 2)$
$= -1 + \lambda - \lambda + 2\lambda^2 - 1$
$= 2\lambda^2 - 2$
$= 2(\lambda^2 - 1)$
$= 2(\lambda - 1)(\lambda + 1)$
步骤 2：根据行列式判断方程组的解的情况
当行列式不为零时，方程组有唯一解。
当行列式为零时，需要进一步分析方程组的解的情况。
步骤 3：分析方程组的解的情况
(1) 当 $\lambda \neq \pm 1$ 时，行列式不为零，方程组有唯一解。
(2) 当 $\lambda = 1$ 时，行列式为零，需要进一步分析方程组的解的情况。
$\left [ \begin{matrix} 1& 1& -1& 0\\ 1& -1& 1& 2\\ 2& -1& 1& 3\end{matrix} ] \right.$
通过初等行变换，可以得到：
$\left [ \begin{matrix} 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$
此时，方程组有无穷多解，通解为：
$x_1 = 1$
$x_2 = -1 + c$
$x_3 = c$
其中，$c$ 是任意实数。
(3) 当 $\lambda = -1$ 时，行列式为零，需要进一步分析方程组的解的情况。
$\left [ \begin{matrix} 1& -1& -1& 0\\ 1& -1& -1& 2\\ 2& -1& 1& 3\end{matrix} ] \right.$
通过初等行变换，可以得到：
$\left [ \begin{matrix} 1& -1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$
此时，方程组无解。