曲线 y = sqrt(x) + 1 在点 (1,2) 的切线方程是(）。 A. y = (1)/(2) x + (3)/(2)B. y = (1)/(2) x + (1)/(2)C. y = 2xD. y = x + 1

为了找到曲线 $ y = \sqrt{x} + 1 $ 在点 $ (1, 2) $ 的切线方程，我们需要遵循以下步骤： 1. **求函数的导数**： 函数是 $ y = \sqrt{x} + 1 $。为了求导数，我们将 $ \sqrt{x} $ 重写为 $ x^{1/2} $。函数 $ y $ 关于 $ x $ 的导数是： \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{1/2} + 1) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 2. **在点 $ x = 1 $ 处评估导数**： 切线在点 $ (1, 2) $ 的斜率是导数在 $ x = 1 $ 处的值： \[ y' \bigg|_{x=1} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} \] 因此，点 $ (1, 2) $ 处切线的斜率是 $ \frac{1}{2} $。 3. **使用点斜式直线方程**： 直线的点斜式方程是： \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] 其中 $ m $ 是斜率，$ (x_1, y_1) $ 是直线上的点。这里，斜率 $ m $ 是 $ \frac{1}{2} $，点 $ (x_1, y_1) $ 是 $ (1, 2) $。将这些值代入点斜式方程，我们得到： \[ y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \] 简化这个方程，我们有： \[ y - 2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2 \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \] 因此，曲线 $ y = \sqrt{x} + 1 $ 在点 $ (1, 2) $ 的切线方程是 $\boxed{A}$。