题目
1.已知 为两个随机事件,且 (A)=dfrac (1)(2) , (B)=dfrac (3)(5) , (B|A)=dfrac (4)(5), 求:-|||-(1) (Acup B); (2) (A-B); (3) [ overline (B)|(Acup B)]
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P(A \cap B)$
根据条件概率的定义，$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，代入已知条件，得到 $P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$。
步骤 2：计算 $P(A \cup B)$
根据概率的加法公式，$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，代入已知条件，得到 $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$。
步骤 3：计算 $P(A - B)$
$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$，代入已知条件，得到 $P(A - B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$。
步骤 4：计算 $P(\overline{B}|A \cup B)$
根据条件概率的定义，$P(\overline{B}|A \cup B) = \frac{P(\overline{B} \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$。由于 $\overline{B} \cap (A \cup B) = A - B$，所以 $P(\overline{B}|A \cup B) = \frac{P(A - B)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{1}{7}$。
根据条件概率的定义，$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$，代入已知条件，得到 $P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$。
步骤 2：计算 $P(A \cup B)$
根据概率的加法公式，$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，代入已知条件，得到 $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$。
步骤 3：计算 $P(A - B)$
$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$，代入已知条件，得到 $P(A - B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$。
步骤 4：计算 $P(\overline{B}|A \cup B)$
根据条件概率的定义，$P(\overline{B}|A \cup B) = \frac{P(\overline{B} \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$。由于 $\overline{B} \cap (A \cup B) = A - B$，所以 $P(\overline{B}|A \cup B) = \frac{P(A - B)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{1}{7}$。