题目

函数=x(y)^2+y(z)^3在 =x(y)^2+y(z)^3 处沿变化最快方向的方向导数为

函数 $u=xy^2+yz^3$ 在 $(1,2,-1)$ 处沿变化最快方向的方向导数为

题目解答

答案

要计算函数 $u=xy^2+yz^3$ 在点 $(1,2,-1)$ 处沿变化最快方向的方向导数，

需要找到该点的梯度并计算梯度的模。梯度的模即为沿变化最快方向的方向导数。

1：计算梯度

梯度 $\nabla u$ 是偏导数的向量，定义为：

$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$

分别计算偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy^2+yz^3)=y^2$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^2+yz^3)=2xy+z^3$

$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(xy^2+yz^3)=3yz^2$

2：计算在点 $(1,2,-1)$ 处的梯度

将点 $(1,2,-1)$ 代入各个偏导数：

$\left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{(1, 2, -1)} = 2^2 = 4$

$\left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{(1, 2, -1)} = 2\times 1\times 2 + (-1)^3 = 4 - 1 = 3$

$\left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{(1, 2, -1)} = 3 \times2 \times (-1)^2 = 3 \times2 \times 1 = 6$

所以，在点 $(1,2,-1)$ 处的梯度为：

$\nabla u(1,2,-1)=(4,3,6)$

梯度的模（即沿变化最快方向的方向导数）为：

$$ \nabla u $ = \sqrt{4^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 9 + 36} = \sqrt{61}$

因此，函数 $u=xy^2+yz^3$ 在 $(1,2,-1)$ 处沿变化最快方向的方向导数为

$\sqrt{61}$

解析

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数$u=x{y}^{2}+y{z}^{3}$在点(1,2,-1)处的偏导数。偏导数是函数在某一点沿坐标轴方向的变化率。
- 对于$x$的偏导数：$\dfrac {\partial u}{\partial x}=\dfrac {\partial }{\partial x}(x{y}^{2}+y{z}^{3})={y}^{2}$
- 对于$y$的偏导数：$\dfrac {\partial u}{\partial y}=\dfrac {\partial }{\partial y}(x{y}^{2}+y{z}^{3})=2xy+{z}^{3}$
- 对于$z$的偏导数：$\dfrac {\partial u}{\partial z}=\dfrac {\partial }{\partial z}(x{y}^{2}+y{z}^{3})=3y{z}^{2}$

步骤 2：计算梯度
梯度是偏导数的向量，表示函数在某一点沿各个方向的变化率。在点(1,2,-1)处，我们代入偏导数的表达式来计算梯度。
- $\dfrac {\partial u}{\partial x}={y}^{2}=2^{2}=4$
- $\dfrac {\partial u}{\partial y}=2xy+{z}^{3}=2*1*2+(-1)^{3}=4-1=3$
- $\dfrac {\partial u}{\partial z}=3y{z}^{2}=3*2*(-1)^{2}=6$
因此，在点(1,2,-1)处的梯度为：$Du(1,2,-1)=(4,3,6)$

步骤 3：计算梯度的模
梯度的模表示函数在某一点沿变化最快方向的方向导数。我们计算梯度向量的模来得到这个值。
- 梯度的模为：$\sqrt {4^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt {16+9+36}=\sqrt {61}$