4. tan (-(690)^circ ) 的值是 () .-|||-A. sqrt (3) B. -sqrt (3) C. dfrac (sqrt {3)}(3) D. -dfrac (sqrt {3)}(3)

考查要点：本题主要考查负角度的三角函数化简、正切函数的周期性以及特殊角的三角函数值。

解题核心思路：

1. 处理负角度：利用正切函数是奇函数的性质，$\tan(-\theta) = -\tan\theta$，将负角度转化为正角度处理。
2. 角度化简：通过周期性（$\tan(\theta + k \cdot 180^\circ) = \tan\theta$，$k$为整数）将大角度化简到$0^\circ \sim 180^\circ$范围内。
3. 确定符号与值：根据化简后的角度所在象限确定正切值的符号，并结合特殊角的三角函数值计算结果。

破题关键点：

• 周期性应用：将$-690^\circ$通过加减$360^\circ$的整数倍化简到$0^\circ \sim 360^\circ$范围内。
• 奇函数性质：注意负号对结果的影响，避免符号错误。

步骤1：处理负角度
根据正切函数的奇性：
$\tan(-690^\circ) = -\tan(690^\circ)$

步骤2：化简$690^\circ$到$0^\circ \sim 360^\circ$
将$690^\circ$减去$360^\circ$的整数倍：
$690^\circ - 2 \times 360^\circ = 690^\circ - 720^\circ = -30^\circ$
此时角度仍为负，继续加$360^\circ$：
$-30^\circ + 360^\circ = 330^\circ$
因此：
$\tan(690^\circ) = \tan(330^\circ)$

步骤3：计算$\tan(330^\circ)$
$330^\circ$位于第四象限，正切值为负，且：
$\tan(330^\circ) = \tan(360^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

步骤4：代入负号
$\tan(-690^\circ) = -\tan(690^\circ) = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$