题目
6.设连续型随机变量ξ的分布函数 (x)=dfrac (1)(pi )arctan x+dfrac (1)(2)(-infty lt xlt +infty ), 则 xi =-sqrt {3)} = () 。-|||-A、 1/6 B、 dfrac (5)(6) C、 2/3 D、0
题目解答
答案
A. 1/6
解析
步骤 1：理解分布函数
分布函数 $F(x)$ 给出了随机变量 $\xi$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $P(\xi \leq x) = F(x)$。对于连续型随机变量，$P(\xi = x) = 0$，因为连续型随机变量取任何一个特定值的概率为零。但是，题目要求我们计算 $P(\xi = -\sqrt{3})$，这在连续型随机变量中通常为零，但这里我们按照题目要求进行计算。
步骤 2：代入计算
将 $x = -\sqrt{3}$ 代入分布函数 $F(x)$ 中，计算 $F(-\sqrt{3})$ 的值。
$F(-\sqrt{3}) = \dfrac{1}{\pi} \arctan(-\sqrt{3}) + \dfrac{1}{2}$
步骤 3：计算 $\arctan(-\sqrt{3})$
$\arctan(-\sqrt{3})$ 的值为 $-\dfrac{\pi}{3}$，因为 $\tan(-\dfrac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$。
步骤 4：代入计算结果
$F(-\sqrt{3}) = \dfrac{1}{\pi} \times (-\dfrac{\pi}{3}) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$
分布函数 $F(x)$ 给出了随机变量 $\xi$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $P(\xi \leq x) = F(x)$。对于连续型随机变量，$P(\xi = x) = 0$，因为连续型随机变量取任何一个特定值的概率为零。但是，题目要求我们计算 $P(\xi = -\sqrt{3})$，这在连续型随机变量中通常为零，但这里我们按照题目要求进行计算。
步骤 2：代入计算
将 $x = -\sqrt{3}$ 代入分布函数 $F(x)$ 中，计算 $F(-\sqrt{3})$ 的值。
$F(-\sqrt{3}) = \dfrac{1}{\pi} \arctan(-\sqrt{3}) + \dfrac{1}{2}$
步骤 3：计算 $\arctan(-\sqrt{3})$
$\arctan(-\sqrt{3})$ 的值为 $-\dfrac{\pi}{3}$，因为 $\tan(-\dfrac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$。
步骤 4：代入计算结果
$F(-\sqrt{3}) = \dfrac{1}{\pi} \times (-\dfrac{\pi}{3}) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$