求直线 ) x+y+3z=0 x-y-z=0 . 与平面 x-y-z+1=0 的夹角

考查要点：本题主要考查直线与平面夹角的计算方法，涉及方向矢量与法矢量的关系。

解题核心思路：
直线与平面夹角的正弦值等于方向矢量与法矢量的点积的绝对值除以两者的模长乘积。当点积为0时，说明方向矢量与法矢量垂直，此时夹角为0，直线与平面平行或在平面内。

关键点：

• 方向矢量与法矢量垂直是夹角为0的充要条件。
• 公式推导需明确几何意义：直线与平面夹角是直线与其在平面上投影的夹角。

步骤1：确定法矢量与方向矢量

• 平面法矢量：题目中直接给出平面法矢量 $\mathbf{n} = (1, -1, -1)$。
• 直线方向矢量：题目中给出直线方向矢量 $\mathbf{s} = (1, 2, -1)$。

步骤2：计算点积

方向矢量与法矢量的点积为：
$\mathbf{n} \cdot \mathbf{s} = (1)(1) + (-1)(2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0.$

步骤3：计算模长

• 法矢量模长：
  $|\mathbf{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.$
• 方向矢量模长：
  $|\mathbf{s}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}.$

步骤4：代入公式

根据公式 $\sin \theta = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{s}|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{s}|}$，代入得：
$\sin \theta = \dfrac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = 0.$

步骤5：确定夹角

由 $\sin \theta = 0$ 得 $\theta = 0$，说明直线与平面平行或重合，夹角为0。