题目
1.当x→0时, (x)=(e)^x-dfrac (1+ax)(1+bx) 为x的三阶无穷小,则a,b分别为 __-|||-(A)1,0; (B) 1/2, 0; (C) dfrac (1)(2) ,-dfrac (1)(2) ; (D)以上都不对.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定无穷小的阶数
题目中指出 $f(x)={e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}$ 为x的三阶无穷小，这意味着当x→0时，$f(x)$ 的极限形式为 $O(x^3)$，即 $f(x)$ 的极限值与 $x^3$ 的极限值成正比。
步骤 2：应用洛必达法则
为了确定a和b的值，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{3}}$ 的值。首先，将 $f(x)$ 代入，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}}{{x}^{3}}$。由于分子和分母在x→0时都趋于0，我们可以应用洛必达法则。
步骤 3：计算极限
应用洛必达法则，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+bx{e}^{x}-1-ax}{{x}^{3}(1+bx)}$$
继续应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+b{e}^{x}+bx{e}^{x}-a}{3{x}^{2}}$$
再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+2b{e}^{x}+bx{e}^{x}}{6x}$$
步骤 4：求解a和b
由步骤3中的极限表达式，我们可以得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}({e}^{x}+b{e}^{x}+bx{e}^{x}-a) = 1+b-a = 0$$
$$\lim _{x\rightarrow 0}({e}^{x}+2b{e}^{x}+bx{e}^{x}) = 1+2b = 0$$
解得：$b=-\dfrac {1}{2}$，$a=\dfrac {1}{2}$。
题目中指出 $f(x)={e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}$ 为x的三阶无穷小，这意味着当x→0时，$f(x)$ 的极限形式为 $O(x^3)$，即 $f(x)$ 的极限值与 $x^3$ 的极限值成正比。
步骤 2：应用洛必达法则
为了确定a和b的值，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{3}}$ 的值。首先，将 $f(x)$ 代入，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}}{{x}^{3}}$。由于分子和分母在x→0时都趋于0，我们可以应用洛必达法则。
步骤 3：计算极限
应用洛必达法则，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-\dfrac {1+ax}{1+bx}}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+bx{e}^{x}-1-ax}{{x}^{3}(1+bx)}$$
继续应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+b{e}^{x}+bx{e}^{x}-a}{3{x}^{2}}$$
再次应用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+2b{e}^{x}+bx{e}^{x}}{6x}$$
步骤 4：求解a和b
由步骤3中的极限表达式，我们可以得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}({e}^{x}+b{e}^{x}+bx{e}^{x}-a) = 1+b-a = 0$$
$$\lim _{x\rightarrow 0}({e}^{x}+2b{e}^{x}+bx{e}^{x}) = 1+2b = 0$$
解得：$b=-\dfrac {1}{2}$，$a=\dfrac {1}{2}$。