题目

21.设 '(x)=f(x), 其中f(x)为可导函数,且 (0)=1, 又 (x)=xf(x)-(x)^2, 求函数-|||-f(x)的表达式,并求微分方程 ^n-2y'=f(x) 的通解.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题综合考查导数运算、微分方程求解。
解题思路：

  1. 第一部分：利用导数定义，对$F(x)$求导，结合$F'(x)=f(x)$建立方程，解出$f(x)$。
  2. 第二部分：求解二阶非齐次线性微分方程，先求齐次方程通解，再用待定系数法找特解，最后组合得到通解。
    关键点：
  • 导数运算：正确应用乘积法则对$F(x)$求导。
  • 微分方程解法：特征方程法求齐次解，合理假设特解形式。

第（1）题：求$f(x)$的表达式

  1. 对$F(x)$求导
    $F(x) = x f(x) - x^2$
    由乘积法则得：
    $F'(x) = x f'(x) + f(x) - 2x$
    根据题意$F'(x) = f(x)$，代入得：
    $x f'(x) + f(x) - 2x = f(x)$

  2. 化简方程
    消去$f(x)$后得：
    $x f'(x) - 2x = 0 \implies x f'(x) = 2x$
    当$x \neq 0$时，两边除以$x$：
    $f'(x) = 2$

  3. 积分求$f(x)$
    积分得：
    $f(x) = 2x + C$
    利用初始条件$f(0) = 1$，代入$x=0$：
    $1 = 2 \cdot 0 + C \implies C = 1$
    因此：
    $f(x) = 2x + 1$

第（2）题：求微分方程的通解

微分方程为：
$y'' - 2y' = f(x) = 2x + 1$

步骤1：求齐次方程通解

齐次方程为：
$y'' - 2y' = 0$
特征方程：
$r^2 - 2r = 0 \implies r(r - 2) = 0 \implies r = 0, 2$
齐次解为：
$y_h = C_1 + C_2 e^{2x}$

步骤2：求非齐次方程特解

假设特解形式为二次多项式：
$y_p = Ax^2 + Bx + C$
计算导数：
$y_p' = 2Ax + B, \quad y_p'' = 2A$
代入方程：
$2A - 2(2Ax + B) = 2x + 1$
整理得：
$-4Ax + (2A - 2B) = 2x + 1$
比较系数：

  • $-4A = 2 \implies A = -\frac{1}{2}$
  • $2A - 2B = 1 \implies 2(-\frac{1}{2}) - 2B = 1 \implies B = -1$
    常数项$C$不影响方程，可取$C = 0$。
    特解为：
    $y_p = -\frac{1}{2}x^2 - x$

步骤3：组合通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 - x$