用Aitken加速迭代法求下列方程在指定区间内的根。(1) =2+ln x (2,+infty );-|||-(2) =(x)^3-1,[ 1,1.5] .

Aitken加速迭代法用于加速线性收敛的迭代过程。解题核心在于：

1. 构造合适的迭代函数$\phi(x)$，并验证其在区间内满足收敛条件（$|\phi'(x)| < 1$）；
2. 应用Aitken加速公式，通过修正原始迭代值加快收敛速度。

关键点：

• 第（1）题需选择$\phi(x)=2+\ln x$，验证导数条件；
• 第（2）题需避免直接使用$\phi(x)=x^3-1$（发散），而改用$\phi(x)=\sqrt[3]{x+1}$。

第（1）题

构造迭代函数

取$\phi(x)=2+\ln x$，迭代格式为$x_{k+1}=2+\ln x_k$。

验证收敛性

计算导数$\phi'(x)=\dfrac{1}{x}$。在区间$(2,+\infty)$，$\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2} < 1$，故迭代收敛。

Aitken加速公式

Aitken加速迭代格式为：
$\overline{x_{k+1}} = x_{k+1} - \dfrac{(x_{k+1}-x_k)^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k}$
其中$x_{k+1}=\phi(x_k)$，$x_{k+2}=\phi(x_{k+1})$。

计算过程

• 取初始值$x_0=3$；
• 计算$x_1=2+\ln 3 \approx 3.098612289$；
• 计算$x_2=2+\ln x_1 \approx 3.130954362$；
• 代入Aitken公式得$\overline{x_1} \approx 3.146738373$；
• 重复迭代，最终收敛到$x \approx 3.146193227$。

第（2）题

构造迭代函数

取$\phi(x)=\sqrt[3]{x+1}$，迭代格式为$x_{k+1}=\sqrt[3]{x_k+1}$。

验证收敛性

计算导数$\phi'(x)=\dfrac{1}{3}(x+1)^{-2/3}$。在区间$[1,1.5]$，$\phi'(x) < \dfrac{1}{3} \cdot 2^{-2/3} \approx 0.16 < 1$，故迭代收敛。

Aitken加速公式

同理，应用Aitken加速公式：
$\overline{x_{k+1}} = x_{k+1} - \dfrac{(x_{k+1}-x_k)^2}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k}$

计算过程

• 取初始值$x_0=1.25$；
• 计算$x_1=\sqrt[3]{1.25+1} \approx 1.324717961$；
• 代入Aitken公式加速迭代，最终收敛到$x \approx 1.324718$。