题目
[题目]用向量法证明以下各题:-|||-(1)三角形三条中线共点;-|||-(2)P是 Delta ABC 重心的充要条件是-|||-overrightarrow (PA)+overrightarrow (PB)+overrightarrow (PC)=overrightarrow (0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义向量
在 $\Delta ABC$ 中，设 $\overrightarrow {BA}=\overrightarrow {{e}_{1}}$，$\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {{e}_{2}}$，则 $\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {{e}_{1}}-\overrightarrow {{e}_{2}}$。向量 $\overrightarrow {{e}_{1}}$ 和 $\overrightarrow {{e}_{2}}$ 不共线。
步骤 2：中线向量表示
设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，则有 $\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{2}}-\overrightarrow {{e}_{1}}$，$\overrightarrow {BE}=\dfrac {1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{1}}+\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{2}}$。
步骤 3：重心向量表示
设 $\overrightarrow {BG}=\lambda \overrightarrow {BE}$，则 $\overrightarrow {BG}=(\dfrac {\lambda }{2}-1)\overrightarrow {{e}_{1}}+\dfrac {\lambda }{2}\overrightarrow {{e}_{2}}$。$\overrightarrow {AG}=\overrightarrow {BG}-\overrightarrow {BA}=\lambda \overrightarrow {BE}-\overrightarrow {BA}$。
步骤 4：证明共线
由于 $\overrightarrow {AG}$ 与 $\overrightarrow {AD}$ 共线，所以有 $\dfrac {-1}{\dfrac {\lambda -1}{\lambda }-1}=\dfrac {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {\lambda }{2}}$，解得 $\lambda =\dfrac {2}{3}$。因此，$\overrightarrow {CG}=\overrightarrow {BG}-\overrightarrow {BC}=\dfrac {1}{3}\overrightarrow {{e}_{1}}-\dfrac {2}{3}\overrightarrow {{e}_{2}}$，$\overrightarrow {CF}=\overrightarrow {BF}-\overrightarrow {BC}=\dfrac {3}{2}(\dfrac {1}{3}\overrightarrow {{e}_{1}}-\dfrac {2}{3}\overrightarrow {{e}_{2}})$，$\overrightarrow {CF}=\dfrac {3}{2}\overrightarrow {CG}$。因此，CG与CF共线，G在CF上，所以三角形三条中线交于一点。
步骤 5：证明充要条件
①若P是 $\Delta ABC$ 的重心，那么 $AP=2PD$，即 $\overrightarrow {PA}=-2\overrightarrow {PD}$。又D是BC的中点，所以 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=2\overrightarrow {PD}$，因此 $\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {0}$。
②若 $\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {0}$，则 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=-\overrightarrow {PA}$。又D是BC的中点，所以 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=2\overrightarrow {PD}$，因此 $\overrightarrow {PA}=-2\overrightarrow {PD}$，即P在中线AD上。同理可证P在中线BE上，P在CF上。因此，P是三角形的重心。
在 $\Delta ABC$ 中，设 $\overrightarrow {BA}=\overrightarrow {{e}_{1}}$，$\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {{e}_{2}}$，则 $\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {{e}_{1}}-\overrightarrow {{e}_{2}}$。向量 $\overrightarrow {{e}_{1}}$ 和 $\overrightarrow {{e}_{2}}$ 不共线。
步骤 2：中线向量表示
设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，则有 $\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{2}}-\overrightarrow {{e}_{1}}$，$\overrightarrow {BE}=\dfrac {1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{1}}+\dfrac {1}{2}\overrightarrow {{e}_{2}}$。
步骤 3：重心向量表示
设 $\overrightarrow {BG}=\lambda \overrightarrow {BE}$，则 $\overrightarrow {BG}=(\dfrac {\lambda }{2}-1)\overrightarrow {{e}_{1}}+\dfrac {\lambda }{2}\overrightarrow {{e}_{2}}$。$\overrightarrow {AG}=\overrightarrow {BG}-\overrightarrow {BA}=\lambda \overrightarrow {BE}-\overrightarrow {BA}$。
步骤 4：证明共线
由于 $\overrightarrow {AG}$ 与 $\overrightarrow {AD}$ 共线，所以有 $\dfrac {-1}{\dfrac {\lambda -1}{\lambda }-1}=\dfrac {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {\lambda }{2}}$，解得 $\lambda =\dfrac {2}{3}$。因此，$\overrightarrow {CG}=\overrightarrow {BG}-\overrightarrow {BC}=\dfrac {1}{3}\overrightarrow {{e}_{1}}-\dfrac {2}{3}\overrightarrow {{e}_{2}}$，$\overrightarrow {CF}=\overrightarrow {BF}-\overrightarrow {BC}=\dfrac {3}{2}(\dfrac {1}{3}\overrightarrow {{e}_{1}}-\dfrac {2}{3}\overrightarrow {{e}_{2}})$，$\overrightarrow {CF}=\dfrac {3}{2}\overrightarrow {CG}$。因此，CG与CF共线，G在CF上，所以三角形三条中线交于一点。
步骤 5：证明充要条件
①若P是 $\Delta ABC$ 的重心，那么 $AP=2PD$，即 $\overrightarrow {PA}=-2\overrightarrow {PD}$。又D是BC的中点，所以 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=2\overrightarrow {PD}$，因此 $\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {0}$。
②若 $\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {0}$，则 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=-\overrightarrow {PA}$。又D是BC的中点，所以 $\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=2\overrightarrow {PD}$，因此 $\overrightarrow {PA}=-2\overrightarrow {PD}$，即P在中线AD上。同理可证P在中线BE上，P在CF上。因此，P是三角形的重心。