设 f(x)= 2+x,x<0 0,x=0 x^2-1,0<x≤4 求f(x)的定义域及 f(-1),f(2)-|||-的值,并作图象.

考查要点：本题主要考查分段函数的定义域确定、函数值计算及图像绘制能力。

解题核心思路：

1. 定义域：将各分段的定义域区间合并，注意端点是否包含。
2. 函数值计算：根据自变量所在区间，选择对应的表达式代入计算。
3. 图像绘制：分区间画图，注意分段点的函数值与趋势。

破题关键点：

• 定义域合并：三个分段的区间分别为 $(-\infty,0]$、$\{0\}$、$(0,4)$，合并后为 $(-\infty,4)$。
• 分段点处理：特别注意 $x=0$ 处的函数值为 $0$，而左右极限分别为 $2$ 和 $-1$，此处存在断点。

定义域确定

函数 $f(x)$ 的分段区间为：

1. $x < 0$ 时，定义域为 $(-\infty,0]$；
2. $x = 0$ 时，定义域为 $\{0\}$；
3. $0 < x < 4$ 时，定义域为 $(0,4)$。

合并所有区间得：
$(-\infty,0] \cup \{0\} \cup (0,4) = (-\infty,4).$

函数值计算

1. $f(-1)$：
   $-1 < 0$，使用第一段表达式 $f(x) = 2 + x$，得
   $f(-1) = 2 + (-1) = 1.$

2. $f(2)$：
   $0 < 2 < 4$，使用第三段表达式 $f(x) = x^2 - 1$，得
   $f(2) = 2^2 - 1 = 3.$

图像绘制

1. $x < 0$：直线 $f(x) = 2 + x$，斜率为 $1$，截距为 $2$，在 $x=0$ 左侧极限为 $2$，但 $x=0$ 处函数值为 $0$。
2. $x = 0$：单独一点 $(0,0)$。
3. $0 < x < 4$：抛物线 $f(x) = x^2 - 1$，顶点在 $(0,-1)$，开口向上，在 $x=0$ 右侧极限为 $-1$，但 $x=0$ 处函数值为 $0$。