题目

lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(x)^0((e)^t+(e)^-t-2)dt}(1-cos x) ()-|||-__=（）A.0B.1C.-1D.∞

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_x^0\left(e^t+e^{-t}-2\right)dt}{1-\cos x}$ =（）

A.0

B.1

C.-1

D.∞

题目解答

答案

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_x^0\left(e^t+e^{-t}-2\right)dt}{1-\cos x}$ = $-\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^x\left(e^t+e^{-t}-2\right)dt}{1-\cos x}$ =

$=-\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^x\left(e^t+e^{-t}-2\right)dt}{\frac{1}{2}x^2}$ =

$-\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x}$ = $-\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1+e^{-x}-1}{x}=-\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+\left(-x\right)}{x}=0$

选A

解析

步骤 1：转换积分上下限
原式可以写为$-\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}({e}^{t}+{e}^{-t}-2)dt}{1-\cos x}$，因为积分上下限互换，积分值变号。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋于0，可以应用洛必达法则，即求导数的极限。
步骤 3：求导数
分子的导数为${e}^{x}+{e}^{-x}-2$，分母的导数为$\sin x$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋于0，再次应用洛必达法则。
步骤 5：求导数
分子的导数为${e}^{x}-{e}^{-x}$，分母的导数为$\cos x$。
步骤 6：计算极限
当$x\rightarrow 0$时，${e}^{x}-{e}^{-x}\rightarrow 0$，$\cos x\rightarrow 1$，所以极限为0。