lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(x)^0((e)^t+(e)^-t-2)dt}(1-cos x) ()-|||-__=（）A.0B.1C.-1D.∞

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及积分与无穷小量的比较，以及泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 调整积分上下限，将分子转化为更易处理的形式；
2. 利用等价无穷小替换分母 $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$；
3. 通过泰勒展开或洛必达法则处理分子中的积分，化简后求极限。

破题关键点：

• 积分上下限调换后符号变化；
• 被积函数的泰勒展开简化积分计算；
• 极限化简时注意低阶项的舍去。

步骤1：调整积分上下限

原式分子为 $\int_{x}^{0} (e^t + e^{-t} - 2) dt$，调换积分上下限后符号改变：
$\int_{x}^{0} (e^t + e^{-t} - 2) dt = -\int_{0}^{x} (e^t + e^{-t} - 2) dt$

步骤2：等价无穷小替换分母

当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$，原式变为：
$-\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (e^t + e^{-t} - 2) dt}{\frac{1}{2}x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (e^t + e^{-t} - 2) dt}{x^2}$

步骤3：应用洛必达法则

分子 $\int_{0}^{x} (e^t + e^{-t} - 2) dt$ 和分母 $x^2$ 均趋近于0，对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (e^t + e^{-t} - 2) dt = e^x + e^{-x} - 2$
• 分母导数：$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$

应用洛必达法则后：
$-2 \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{2x} = -\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x}$

步骤4：泰勒展开化简分子

将 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 展开至二次项：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
相加后：
$e^x + e^{-x} - 2 = \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) + \left(1 - x + \frac{x^2}{2}\right) - 2 = x^2 + o(x^2)$
代入极限：
$-\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + o(x^2)}{x} = -\lim_{x \to 0} x = 0$