题目

14.求过点(1,2,3)且与平面3x+4y-z+6=0平行，又与直线(x-3)/(1)=(y+2)/(4)=(z)/(1)垂直的直线方程.

14.求过点(1,2,3)且与平面3x+4y-z+6=0平行，又与直线$\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$垂直的直线方程.

题目解答

答案

为了求过点$(1,2,3)$且与平面$3x + 4y - z + 6 = 0$平行，又与直线$\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$垂直的直线方程，我们需要确定该直线的方向向量。让我们一步步进行。 1. **确定平面的法向量：** 平面$3x + 4y - z + 6 = 0$的法向量是$\mathbf{n} = (3, 4, -1)$。 2. **确定直线的方向向量：** 直线$\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$的方向向量是$\mathbf{d_1} = (1, 4, 1)$。 3. **确定所求直线的方向向量：** 所求直线与平面平行，因此其方向向量$\mathbf{d}$与平面的法向量$\mathbf{n}$垂直。此外，所求直线与给定直线垂直，因此$\mathbf{d}$也与$\mathbf{d_1}$垂直。因此，$\mathbf{d}$是$\mathbf{n}$和$\mathbf{d_1}$的叉积： \[ \mathbf{d} = \mathbf{n} \times \mathbf{d_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 1 - (-1) \cdot 4) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) = \mathbf{i}(4 + 4) - \mathbf{j}(3 + 1) + \mathbf{k}(12 - 4) = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (8, -4, 8) \] 我们可以简化这个方向向量，通过除以4：$\mathbf{d} = (2, -1, 2)$。 4. **写出直线的方程：** 通过点$(1, 2, 3)$且方向向量为$(2, -1, 2)$的直线的参数方程为： \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2} \] 因此，所求直线的方程为： \[ \boxed{\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查空间直线与平面的位置关系、直线与直线的垂直关系，以及如何通过方向向量确定直线方程。

解题核心思路：

  1. 方向向量的确定：所求直线需满足两个条件：
    • 与平面平行：方向向量与平面法向量垂直；
    • 与已知直线垂直：方向向量与已知直线的方向向量垂直。
  2. 叉乘求解方向向量：利用平面法向量与已知直线方向向量的叉乘，得到同时满足上述两个条件的方向向量。
  3. 代入点写出方程：用方向向量和已知点写出直线方程。

破题关键点：

  • 平面法向量：直接由平面方程系数得出；
  • 方向向量的双重垂直性：通过叉乘构造满足条件的方向向量。

1. 确定平面法向量

平面方程为 $3x + 4y - z + 6 = 0$，其法向量为 $\mathbf{n} = (3, 4, -1)$。

2. 确定已知直线的方向向量

已知直线 $\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}$ 的方向向量为 $\mathbf{d_1} = (1, 4, 1)$。

3. 求所求直线的方向向量

所求直线需满足：

  • 与平面平行：方向向量 $\mathbf{d}$ 与 $\mathbf{n}$ 垂直；
  • 与已知直线垂直：方向向量 $\mathbf{d}$ 与 $\mathbf{d_1}$ 垂直。

因此，$\mathbf{d}$ 是 $\mathbf{n}$ 和 $\mathbf{d_1}$ 的叉乘：
$\mathbf{d} = \mathbf{n} \times \mathbf{d_1} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\3 & 4 & -1 \\1 & 4 & 1\end{vmatrix} = 8\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (8, -4, 8)$
简化方向向量为 $\mathbf{d} = (2, -1, 2)$。

4. 写出直线方程

过点 $(1, 2, 3)$，方向向量为 $(2, -1, 2)$，直线方程为：
$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{2}$