22.已知 D= |} 1& 2& -1 0& 1& 2 2& -4& 6 1& 3& 5 -

考查要点：本题主要考查代数余子式的性质及行列式的展开定理。需要理解代数余子式的定义，并能灵活运用行列式的展开方法求解特定组合的代数余子式之和。

解题核心思路：

1. 代数余子式的线性组合：将第一行元素替换为给定系数后，计算新行列式的值，即对应原行列式代数余子式的线性组合。
2. 代数余子式的和：构造第一行全为1的新行列式，其值即为原行列式第一行代数余子式的和。

破题关键点：

• 行列式展开定理：行列式等于某一行元素与其对应代数余子式的乘积之和。
• 构造新行列式：通过调整第一行元素，将代数余子式的组合问题转化为行列式的计算问题。

第（1）题：求 $A_{11} + 2A_{12} + 3A_{13} + 3A_{14}$

构造新行列式 $D_1$

将原行列式第一行替换为 $[1, 2, 3, 3]$，其他行保持不变：
$D_1 = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 3 \\0 & 1 & 2 & 4 \\2 & -4 & 6 & -8 \\1 & 3 & 5 & 7\end{vmatrix}$

行变换简化计算

1. 第三行减去 $2$ 倍第一行：
   $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \Rightarrow [0, -8, 0, -14]$
2. 第四行减去 $1$ 倍第一行：
   $R_4 \leftarrow R_4 - R_1 \Rightarrow [0, 1, 2, 4]$

展开行列式

展开第一列，余子式为：
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\-8 & 0 & -14 \\1 & 2 & 4\end{vmatrix}$
计算得余子式值为 $0$，故 $D_1 = 1 \cdot 0 = 0$。

第（2）题：求 $M_{11} + M_{12} + M_{13} + M_{14}$

构造新行列式 $D_2$

将原行列式第一行替换为 $[1, 1, 1, 1]$，其他行保持不变：
$D_2 = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 4 \\2 & -4 & 6 & -8 \\1 & 3 & 5 & 7\end{vmatrix}$

行变换简化计算

1. 第三行减去 $2$ 倍第一行：
   $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \Rightarrow [0, -6, 4, -10]$
2. 第四行减去 $1$ 倍第一行：
   $R_4 \leftarrow R_4 - R_1 \Rightarrow [0, 2, 4, 6]$

展开行列式

展开第一列，余子式为：
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\-6 & 4 & -10 \\2 & 4 & 6\end{vmatrix}$
计算得余子式值为 $-32$，故 $D_2 = 1 \cdot (-32) = -32$。