假设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布.

考查要点：本题主要考查指数分布的最小值分布以及独立随机变量的联合概率计算。关键在于理解电路正常工作时间T的定义，即三个元件同时无故障的时间，对应三个独立指数分布变量的最小值。

解题核心思路：

1. 确定T的定义：电路正常工作的时间T是三个元件无故障时间的最小值，即$T = \min\{X_1, X_2, X_3\}$。
2. 利用独立性计算概率：通过计算$T > t$的概率，即所有元件均正常工作的概率，结合指数分布的生存函数，推导出T的分布函数。
3. 参数转换：通过指数分布的性质，最小值的参数为各元件参数之和，最终得到T服从参数为$3\lambda$的指数分布。

设$X_i$（$i=1,2,3$）表示第$i$个元件的无故障工作时间，$X_1, X_2, X_3$独立同分布，分布函数为：
$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x > 0, \\0, & x \leq 0.\end{cases}$

电路正常工作时间$T$的定义：
当且仅当三个元件均无故障时电路正常工作，因此$T$是三个元件无故障时间的最小值，即：
$T = \min\{X_1, X_2, X_3\}.$

分布函数$G(t)$的推导：

1. 当$t \leq 0$时：
   $G(t) = P(T \leq t) = 0.$

2. 当$t > 0$时：
   $T > t$等价于所有元件均正常工作超过$t$，即：
   $P(T > t) = P(X_1 > t, X_2 > t, X_3 > t).$
   由于独立性，联合概率可分解为：
   $P(X_1 > t, X_2 > t, X_3 > t) = [P(X_1 > t)]^3.$
   每个$X_i$的生存函数为：
   $P(X_i > t) = e^{-\lambda t},$
   因此：
   $P(T > t) = \left(e^{-\lambda t}\right)^3 = e^{-3\lambda t}.$
   从而，分布函数为：
   $G(t) = P(T \leq t) = 1 - P(T > t) = 1 - e^{-3\lambda t}.$

结论：
$T$服从参数为$3\lambda$的指数分布，其分布函数为：
$G(t) = \begin{cases} 1 - e^{-3\lambda t}, & t > 0, \\0, & t \leq 0.\end{cases}$