(教材§2.2)求极限(lim )_(xarrow 0)(dfrac (1)({e)^x-1}-dfrac (1)(x))。

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和洛必达法则的应用，以及分式极限的处理技巧。

解题核心思路：

1. 通分将两个分式合并为一个分式，简化表达式；
2. 利用等价无穷小（当$x \to 0$时，$e^x -1 \sim x$）替换分母，将原式转化为更易处理的形式；
3. 对于$\frac{0}{0}$型不定式，多次应用洛必达法则求解极限。

破题关键点：

• 正确通分是简化表达式的前提；
• 等价无穷小替换能有效降低计算复杂度；
• 两次洛必达法则的应用需注意导数的计算准确性。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x -1} - \frac{1}{x} \right)$
通分后得：
$\lim_{x \to 0} \frac{x - (e^x -1)}{x(e^x -1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x +1 - e^x}{x(e^x -1)}$

步骤2：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$e^x -1 \sim x$，因此分母可近似为$x \cdot x = x^2$，原式化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x +1 - e^x}{x^2}$

步骤3：第一次洛必达法则
分子$x +1 - e^x$在$x=0$处值为$0$，分母$x^2$也为$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{(x +1 - e^x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{2x}$

步骤4：第二次洛必达法则
此时分子$1 - e^x$在$x=0$处值仍为$0$，分母$2x$也为$0$，再次应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - e^x)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{2} = \frac{-1}{2}$