1、【必做题】设 approx E(X), (1)求-|||-=alpha x+beta (alpha gt 0) 的分布,并讨论 Y是否服-|||-从指数分布.-|||-(2) 特别地,令 =2lambda x ,则Y 所服从的分布称-|||-为自由度为2的卡方分布,记作 approx (x)^2(2), 写-|||-出x^2(2)的概率密度.

步骤 1：求 $Y=\alpha X+\beta$ 的分布
首先，我们知道 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\
0, & x \leq 0
\end{cases}
$$
我们需要求 $Y=\alpha X+\beta$ 的分布。为此，我们先求 $Y$ 的累积分布函数（CDF）$F_Y(y)$，然后通过求导得到概率密度函数（PDF）$f_Y(y)$。
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\alpha X + \beta \leq y) = P\left(X \leq \frac{y - \beta}{\alpha}\right)
$$
由于 $X$ 服从指数分布，其累积分布函数为：
$$
F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0
$$
因此，$F_Y(y)$ 可以表示为：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
1 - e^{-\lambda \frac{y - \beta}{\alpha}}, & y > \beta \\
0, & y \leq \beta
\end{cases}
$$
步骤 2：求 $Y$ 的概率密度函数
对 $F_Y(y)$ 求导，得到 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \begin{cases}
\frac{\lambda}{\alpha} e^{-\lambda \frac{y - \beta}{\alpha}}, & y > \beta \\
0, & y \leq \beta
\end{cases}
$$
步骤 3：讨论 $Y$ 是否服从指数分布
从 $f_Y(y)$ 的形式可以看出，$Y$ 的分布不是标准的指数分布，因为其形式中包含 $\beta$ 和 $\alpha$。因此，$Y$ 不服从指数分布。
步骤 4：求 $Y=2\lambda X$ 的分布
特别地，令 $Y=2\lambda X$，则 $Y$ 所服从的分布称为自由度为2的卡方分布，记作 $Y\sim {X}^{2}(2)$。此时，$\alpha = 2\lambda$，$\beta = 0$，因此 $Y$ 的概率密度函数为：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{\lambda}{2\lambda} e^{-\lambda \frac{y}{2\lambda}}, & y > 0 \\
0, & y \leq 0
\end{cases} = \begin{cases}
\frac{1}{2} e^{-\frac{y}{2}}, & y > 0 \\
0, & y \leq 0
\end{cases}
$$