题目
[题目]函数 =(2)^x+1 的反函数为
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解 $x$ 关于 $y$ 的表达式
给定函数 $y={2}^{x}+1$，我们首先需要解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。为此，我们从等式 $y={2}^{x}+1$ 出发，移项得到 ${2}^{x}=y-1$。然后，我们对等式两边取以2为底的对数，得到 $x={\log }_{2}(y-1)$。需要注意的是，由于 $2^x$ 总是正的，所以 $y-1$ 也必须是正的，即 $y>1$。
步骤 2：确定反函数的定义域
由于原函数 $y={2}^{x}+1$ 的值域是 $(1,+\infty)$，因此反函数的定义域也是 $(1,+\infty)$。这意味着反函数 $y={\log }_{2}(x-1)$ 的定义域是 $x>1$。
步骤 3：写出反函数
根据步骤1和步骤2，我们可以写出原函数 $y={2}^{x}+1$ 的反函数为 $y={\log }_{2}(x-1)$，其中 $x>1$。
给定函数 $y={2}^{x}+1$，我们首先需要解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。为此，我们从等式 $y={2}^{x}+1$ 出发，移项得到 ${2}^{x}=y-1$。然后，我们对等式两边取以2为底的对数，得到 $x={\log }_{2}(y-1)$。需要注意的是，由于 $2^x$ 总是正的，所以 $y-1$ 也必须是正的，即 $y>1$。
步骤 2：确定反函数的定义域
由于原函数 $y={2}^{x}+1$ 的值域是 $(1,+\infty)$，因此反函数的定义域也是 $(1,+\infty)$。这意味着反函数 $y={\log }_{2}(x-1)$ 的定义域是 $x>1$。
步骤 3：写出反函数
根据步骤1和步骤2，我们可以写出原函数 $y={2}^{x}+1$ 的反函数为 $y={\log }_{2}(x-1)$，其中 $x>1$。