题目
2.设A,B为二随机事件,则 (ABcup Aoverline (B))(Acup overline (A)overline (B))= ()-|||-(A)A (B)B (C)AB (D)∅
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查事件运算的基本规则，特别是对并集、交集运算的理解与化简能力，以及运用分配律、吸收律等集合运算定律的熟练程度。
解题核心思路：
- 分解复杂表达式：将题目中的两个部分分别化简，再求它们的交集。
- 关键观察点：
- 第一部分 $AB \cup A\overline{B}$ 实际上是事件 $A$ 的两种可能情况（$B$ 发生或不发生）的并集，等价于 $A$ 本身。
- 第二部分 $A \cup \overline{A}\overline{B}$ 可以通过吸收律直接化简。
- 最终交集：结合两部分的化简结果，利用集合运算的性质得出答案。
第一步：化简第一部分 $AB \cup A\overline{B}$
- 分解事件：
$AB$ 表示 $A$ 和 $B$ 同时发生，$A\overline{B}$ 表示 $A$ 发生且 $B$ 不发生。- 这两种情况的并集覆盖了 $A$ 发生的所有可能性（无论 $B$ 是否发生）。
- 结论：
$AB \cup A\overline{B} = A$
第二步：化简第二部分 $A \cup \overline{A}\overline{B}$
- 分解事件：
$A$ 发生时，无论 $B$ 如何，结果都包含 $A$；$\overline{A}\overline{B}$ 表示 $A$ 和 $B$ 均不发生。- 两者的并集可理解为“$A$ 发生，或 $A$ 和 $B$ 均不发生”。
- 吸收律应用：
根据吸收律 $A \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$ 无法进一步直接化简，但后续与 $A$ 取交集时可简化。
第三步：求两部分的交集
- 表达式：
$(AB \cup A\overline{B}) \cap (A \cup \overline{A}\overline{B}) = A \cap (A \cup \overline{A}\overline{B})$ - 吸收律应用：
根据吸收律 $A \cap (A \cup C) = A$（其中 $C$ 为任意事件），得：
$A \cap (A \cup \overline{A}\overline{B}) = A$