考察函数-|||-f(x,y)= ^2+{y)^2},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 . ,-|||-在点(0,0)的可微性.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数在点(0,0)处的偏导数。根据偏导数的定义，我们有：
${f}_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {0-0}{\Delta x}=0$
${f}_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\dfrac {0-0}{\Delta y}=0$
步骤 2：验证可微性
为了验证函数在点(0,0)处的可微性，我们需要验证以下极限是否为0：
$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)-f(0,0)-{f}_{x}(0,0)x-{f}_{y}(0,0)y}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$
将已知的函数和偏导数代入，我们得到：
$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy\sin \dfrac {1}{{x}^{2}+{y}^{2}}-0-0x-0y}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$
$=\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy\sin \dfrac {1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$
步骤 3：计算极限
为了计算上述极限，我们使用极坐标变换，令$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则有：
$\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {r^{2}\cos \theta \sin \theta \sin \dfrac {1}{{r}^{2}}}{r}$
$=\lim _{r\rightarrow 0}r\cos \theta \sin \theta \sin \dfrac {1}{{r}^{2}}$
由于$\sin \dfrac {1}{{r}^{2}}$是有界函数，而$r\cos \theta \sin \theta$在$r\rightarrow 0$时趋于0，因此上述极限为0。