（3）要熟悉实对称矩阵特征值、特征向量 阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法. 今年考题 （2025，2）设矩阵 } 1& 2& 0 2& a& 0 0& 0&b 有一个正特征值和两个负特征值，则 （A.）a＞4，b＞0.（B.）a＜4，b＞0. （C.）a＞4，b＜0.（D.）a＜4，b＜0.

为了确定矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix} $ 的特征值，我们首先需要找到特征多项式。特征多项式由矩阵 $ A - \lambda I $ 的行列式给出，其中 $ I $ 是单位矩阵，$ \lambda $ 是特征值。因此，我们有： \[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 & 0 \\ 2 & a - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & b - \lambda \end{bmatrix} \] 这个矩阵的行列式为： \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 0 \\ 2 & a - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & b - \lambda \end{vmatrix} = (b - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & a - \lambda \end{vmatrix} \] 2x2 矩阵的行列式为： \[ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & a - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(a - \lambda) - 4 = \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a - 4) \] 因此，特征多项式为： \[ \det(A - \lambda I) = (b - \lambda)(\lambda^2 - (a+1)\lambda + (a - 4)) \] 特征值是这个多项式的根。一个根是 $ \lambda = b $。其他两个根是二次方程 $ \lambda^2 - (a+1)\lambda + (a - 4) = 0 $ 的解。这个二次方程的判别式为： \[ \Delta = (a+1)^2 - 4(a-4) = a^2 + 2a + 1 - 4a + 16 = a^2 - 2a + 17 \] 由于 $ a^2 - 2a + 17 = (a-1)^2 + 16 $ 总是正的，二次方程有两个不同的实根。设这些根为 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $。根据题目，矩阵有一个正特征值和两个负特征值。由于 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 是二次方程的根，它们的乘积为 $ \lambda_1 \lambda_2 = a - 4 $。为了使 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 都为负，它们的乘积必须为正，因此 $ a - 4 > 0 $，这意味着 $ a > 4 $。 此外，第三个特征值 $ \lambda = b $ 必须为正，以满足有一个正特征值和两个负特征值的条件。然而，由于 $ b $ 是特征值，为了满足有一个正特征值和两个负特征值的条件，$ b $ 必须为负。 因此，正确的条件是 $ a > 4 $ 和 $ b < 0 $。 答案是：$\boxed{\text{C}}$。