题目

设y1,y2为二阶线性常系数微分方程y”+p1y’+p2y=0的两个特解,则C1y1+C2y2 ( )A. 为所给方程的解,但不是通解B. 为所给方程的解,但不一定是通解C. 为所给方程的通解D. 不为所给方程的解

设y1,y2为二阶线性常系数微分方程y”+p1y’+p2y=0的两个特解,则C1y1+C2y2 ( )

A. 为所给方程的解,但不是通解

B. 为所给方程的解,但不一定是通解

C. 为所给方程的通解

D. 不为所给方程的解

题目解答

答案

B. 为所给方程的解,但不一定是通解

解析

步骤 1：理解二阶线性常系数微分方程的解的性质
二阶线性常系数微分方程的一般形式为y”+p1y’+p2y=0，其中p1和p2是常数。对于这种方程，其解具有叠加性，即如果y1和y2是方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1+C2y2也是方程的解，其中C1和C2是任意常数。

步骤 2：判断C1y1+C2y2是否为通解
通解是指方程的所有解的集合，对于二阶线性常系数微分方程，通解通常由两个线性无关的特解的线性组合构成。如果y1和y2是线性无关的，则C1y1+C2y2是通解。如果y1和y2是线性相关的，则C1y1+C2y2不是通解，因为此时方程的解空间的维度小于2。

步骤 3：总结
综上所述，C1y1+C2y2是方程的解，但是否为通解取决于y1和y2是否线性无关。如果y1和y2线性无关，则C1y1+C2y2是通解；如果y1和y2线性相关，则C1y1+C2y2不是通解。