设某信源的输出由128个不同符号组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信源的平均信息速率。

考查要点：本题主要考查平均信息速率的计算，涉及信源熵的计算和码元速率的应用。

解题核心思路：

1. 确定平均信息量：根据信源符号的概率分布，计算每个符号的平均信息量（熵）$H(x)$。
2. 结合码元速率：将平均信息量与码元速率$R_B$相乘，得到平均信息速率$R_b$。

破题关键点：

• 分组计算熵：将128个符号分为两组（概率分别为$\frac{1}{32}$和$\frac{1}{224}$），分别计算熵后求和。
• 验证概率总和：确保所有符号的概率之和为1，避免计算错误。

步骤1：计算信源熵$H(x)$

信源熵公式为：
$H(x) = -\sum_{i=1}^{128} p_i \log_2 p_i$

分组计算：

1. 第一组（16个符号）：概率$p_1 = \frac{1}{32}$
   单个符号的熵贡献为：
   $-p_1 \log_2 p_1 = -\frac{1}{32} \log_2 \frac{1}{32} = \frac{1}{32} \times 5 = \frac{5}{32}$
   总贡献为：
   $16 \times \frac{5}{32} = 2.5 \ \text{比特}$

2. 第二组（112个符号）：概率$p_2 = \frac{1}{224}$
   单个符号的熵贡献为：
   $-p_2 \log_2 p_2 = -\frac{1}{224} \log_2 \frac{1}{224} = \frac{1}{224} \times \log_2 224$
   计算$\log_2 224$：
   $\log_2 224 = \log_2 (32 \times 7) = 5 + \log_2 7 \approx 5 + 2.8074 = 7.8074$
   总贡献为：
   $112 \times \frac{7.8074}{224} = 0.5 \times 7.8074 \approx 3.9037 \ \text{比特}$

总熵：
$H(x) = 2.5 + 3.9037 \approx 6.4037 \ \text{比特/符号}$

步骤2：计算平均信息速率$R_b$

公式为：
$R_b = R_B \times H(x)$
其中，码元速率$R_B = 1000 \ \text{Baud}$，代入得：
$R_b = 1000 \times 6.4037 \approx 6404 \ \text{bit/s}$