计算 ∬ D xcos（x+y）dσ，其中D是顶点分别为（0，0），（π，0）和（π，π）的三角形闭区域．

步骤 1：确定积分区域D
积分区域D是顶点分别为（0，0），（π，0）和（π，π）的三角形闭区域。因此，D可以表示为D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤x}。

步骤 2：设置二重积分
根据题目要求，需要计算二重积分
∬
D
xcos（x+y）dσ。根据步骤1中确定的积分区域D，可以将二重积分表示为
∫
π 0
∫
x 0
xcos(x+y)dydx。

步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分
∫
x 0
xcos(x+y)dy。由于x是常数，可以将x提出来，得到x
∫
x 0
cos(x+y)dy。对cos(x+y)进行积分，得到x[sin(x+y)]
x 0
=x[sin(2x)-sin(x)]。

步骤 4：计算外层积分
将步骤3中得到的结果代入外层积分，得到
∫
π 0
x[sin(2x)-sin(x)]dx。对这个积分进行计算，得到
∫
π 0
xsin(2x)dx-
∫
π 0
xsin(x)dx。这两个积分分别使用分部积分法进行计算，得到
1
2
x^2cos(2x)
π 0
-
1
2
∫
π 0
2xcos(2x)dx-
1
2
x^2cos(x)
π 0
+
1
2
∫
π 0
2xcos(x)dx。计算得到
1
2
π^2cos(2π)-
1
2
∫
π 0
2xcos(2x)dx-
1
2
π^2cos(π)+
1
2
∫
π 0
2xcos(x)dx。进一步计算得到
1
2
π^2-
1
2
∫
π 0
2xcos(2x)dx+
1
2
π^2+
1
2
∫
π 0
2xcos(x)dx。最后计算得到
π^2-
1
2
∫
π 0
2xcos(2x)dx+
1
2
∫
π 0
2xcos(x)dx。计算得到
π^2-
1
2
[xsin(2x)]
π 0
+
1
2
∫
π 0
sin(2x)dx+
1
2
[xsin(x)]
π 0
-
1
2
∫
π 0
sin(x)dx。计算得到
π^2-
1
2
[πsin(2π)-0]+
1
2
[-
1
2
cos(2x)]
π 0
+
1
2
[πsin(π)-0]-
1
2
[-cos(x)]
π 0
。计算得到
π^2-
1
2
[0]+
1
2
[-
1
2
cos(2π)+
1
2
cos(0)]+
1
2
[0]-
1
2
[-cos(π)+cos(0)]。计算得到
π^2-
1
2
[0]+
1
2
[-
1
2
+
1
2
]+
1
2
[0]-
1
2
[-(-1)+1]。计算得到
π^2-
1
2
[0]+
1
2
[0]+
1
2
[0]-
1
2
[2]。计算得到
π^2-1。