将长为a的一段木棒折成三段,问这三段能拼成一个三角形的概率为( )A.．1/3B.．a/3C.．a/4D.．1/4

考查要点：本题主要考查几何概率的应用，以及三角形三边关系的理解。关键在于将木棒折断问题转化为几何区域的计算，并利用概率的基本公式求解。

解题核心思路：

1. 三角形存在条件：三段能组成三角形的充要条件是每一段的长度均小于总长度的一半（即最大边小于另外两边之和）。
2. 几何概率模型：将木棒折断问题抽象为在二维坐标系中确定满足条件的区域面积，通过比较有效区域与总区域的面积比得到概率。

破题关键点：

• 通过设定折断点的位置，将问题转化为数学上的区域划分。
• 明确约束条件（三段长度均小于$a/2$），并计算对应区域的面积。

步骤1：设定变量与总区域
设木棒长度为$a$，在木棒上随机选取两个折断点，将木棒分为三段。设折断点位置为$x$和$y$（$0 \leq x \leq y \leq a$），则三段长度分别为$x$、$y - x$、$a - y$。总区域为$x$和$y$在$[0,a]$上的所有可能组合，对应二维坐标系中的三角形区域，面积为$\frac{a^2}{2}$。

步骤2：确定有效条件
三段能组成三角形的条件是每一段均小于$\frac{a}{2}$，即：
$\begin{cases}x < \frac{a}{2}, \\y - x < \frac{a}{2}, \\a - y < \frac{a}{2}.\end{cases}$

步骤3：转化约束条件
将上述不等式转化为关于$x$和$y$的条件：

1. $x < \frac{a}{2}$，
2. $y < x + \frac{a}{2}$，
3. $y > \frac{a}{2}$。

步骤4：计算有效区域面积
在$x$-$y$平面上，有效区域为满足上述条件的区域，其形状为一个边长为$\frac{a}{2}$的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$。

步骤5：计算概率
概率为有效区域面积与总区域面积的比值：
$\text{概率} = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{2}} = \frac{1}{4}.$