在平面直角坐标系xOy中．已知向量overrightarrow(a)、overrightarrow(b)，|overrightarrow(a)|=|overrightarrow(b)|=1，overrightarrow(a)•overrightarrow(b)=0，点Q满足overrightarrow(OQ)=sqrt(2)（overrightarrow(a)+overrightarrow(b)），曲线C=(P|overrightarrow{OP)=overrightarrow(a)cosθ+overrightarrow(b)sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω=(P|0＜r≤|overrightarrow{PQ)|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　） A. 1＜r＜R＜3 B. 1＜r＜3≤R C. r≤1＜R＜3 D. 1＜r＜3＜R

考查要点：本题主要考查向量运算、圆与圆环的位置关系，以及几何图形的交集条件。
解题核心思路：

1. 确定几何图形的位置：通过向量表达式确定点Q的位置，分析曲线C为单位圆，区域Ω为以Q为中心的圆环。
2. 分析交集条件：单位圆与圆环的内外圆相交时，交集为两段分离的曲线，需满足圆心距与半径的关系。
   破题关键点：

• 单位圆与圆环的位置关系：计算Q到原点O的距离，结合单位圆半径，推导出内圆和外圆的半径范围。

1. 确定点Q的位置
   由$\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$，结合$\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，得$Q(\sqrt{2}, \sqrt{2})$，故$|OQ| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$。

2. 分析曲线C的轨迹
   $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{a}\cos\theta + \overrightarrow{b}\sin\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$，说明C是单位圆。

3. 区域Ω的几何意义
   Ω是以Q为中心，内半径$r$，外半径$R$的圆环，即$0 < r \leq |PQ| \leq R$。

4. 交集条件分析

   • 单位圆与内圆相交：需满足$|OQ| - 1 < r < |OQ| + 1$，即$2 - 1 < r < 2 + 1$，得$1 < r < 3$。
   • 单位圆与外圆相交：同理，需$1 < R < 3$。
   • 分离的两段曲线：要求内圆和外圆均与单位圆相交，且$r < R$，故$1 < r < R < 3$。