题目
7.(2015年)设矩阵A= (} a& 1& 0 1& a& -1 0& 1& a=E ,其中E为3阶单位矩阵,求X.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解a的值
由于 ${A}^{3}=0$，矩阵A是幂零矩阵，即A的特征值全为0。根据矩阵A的特征多项式，可以求出a的值。
矩阵A的特征多项式为 $det(A-\lambda I)=0$，其中I是单位矩阵。
$det(A-\lambda I)=det\left (\begin{matrix} a-\lambda& 1& 0\\ 1& a-\lambda& -1\\ 0& 1& a-\lambda\end{matrix} ) \right.$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda)^2+1\right]-1$
$=(a-\lambda)^3-(a-\lambda)$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda)^2-1\right]$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda-1)(a-\lambda+1)\right]$
由于特征值全为0，所以 $(a-\lambda)=0$，即 $a=0$。
步骤 2：求解矩阵X
根据题目条件 $X-X{A}^{2}-AX+{AX{A}^{2}}=E$，可以进行如下变形：
$X(E-{A}^{2})-AX(E-{A}^{2})=E$
$(E-A)\times (E-{A}^{2})=E$
$X={(E-A)}^{-1}{(E-{A}^{2})}^{-1}$
步骤 3：计算矩阵X
将a=0代入矩阵A，得到矩阵A= $\left (\begin{matrix} 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.$
计算矩阵 $(E-A)$ 和 $(E-{A}^{2})$ 的逆矩阵，得到：
$(E-A)=\left (\begin{matrix} 1& -1& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-{A}^{2})=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-A)^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-{A}^{2})^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$X={(E-A)}^{-1}{(E-{A}^{2})}^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$=\left (\begin{matrix} 3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{matrix} ) \right.$
由于 ${A}^{3}=0$，矩阵A是幂零矩阵，即A的特征值全为0。根据矩阵A的特征多项式，可以求出a的值。
矩阵A的特征多项式为 $det(A-\lambda I)=0$，其中I是单位矩阵。
$det(A-\lambda I)=det\left (\begin{matrix} a-\lambda& 1& 0\\ 1& a-\lambda& -1\\ 0& 1& a-\lambda\end{matrix} ) \right.$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda)^2+1\right]-1$
$=(a-\lambda)^3-(a-\lambda)$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda)^2-1\right]$
$=(a-\lambda)\left[(a-\lambda-1)(a-\lambda+1)\right]$
由于特征值全为0，所以 $(a-\lambda)=0$，即 $a=0$。
步骤 2：求解矩阵X
根据题目条件 $X-X{A}^{2}-AX+{AX{A}^{2}}=E$，可以进行如下变形：
$X(E-{A}^{2})-AX(E-{A}^{2})=E$
$(E-A)\times (E-{A}^{2})=E$
$X={(E-A)}^{-1}{(E-{A}^{2})}^{-1}$
步骤 3：计算矩阵X
将a=0代入矩阵A，得到矩阵A= $\left (\begin{matrix} 0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.$
计算矩阵 $(E-A)$ 和 $(E-{A}^{2})$ 的逆矩阵，得到：
$(E-A)=\left (\begin{matrix} 1& -1& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-{A}^{2})=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-A)^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$(E-{A}^{2})^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$
$X={(E-A)}^{-1}{(E-{A}^{2})}^{-1}=\left (\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{matrix} ) \right.$
$=\left (\begin{matrix} 3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{matrix} ) \right.$