题目

单选题 已知y^(n-2)=3x^3-4x+1，则y^(n)|_(x=2)=（）. A. 9 B. 17 C. 32 D. 36

单选题 已知$y^{(n-2)}=3x^{3}-4x+1$，则$y^{(n)}|_{x=2}=（）$.
A. 9
B. 17
C. 32
D. 36

题目解答

答案

对已知函数 $y^{(n-2)} = 3x^3 - 4x + 1$ 求两次导数： 1. 第一次导数： \[ y^{(n-1)} = 9x^2 - 4 \] 2. 第二次导数： \[ y^{(n)} = 18x \] 3. 代入 $x = 2$： \[ y^{(n)}|_{x=2} = 18 \times 2 = 36 \] 答案：$\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查高阶导数的计算及代入求值的能力。
解题思路：题目给出的是函数的$(n-2)$阶导数表达式，要求计算其$n$阶导数在$x=2$处的值。关键步骤是连续两次对给定表达式求导，得到$n$阶导数的表达式，再代入$x=2$计算。
破题关键：明确导数的阶数关系，正确进行两次求导运算，并注意代数运算的准确性。

  1. 第一次求导
    已知$y^{(n-2)} = 3x^3 - 4x + 1$，对$x$求导得：
    $y^{(n-1)} = \frac{d}{dx}(3x^3 - 4x + 1) = 9x^2 - 4$

  2. 第二次求导
    对$y^{(n-1)} = 9x^2 - 4$再次求导得：
    $y^{(n)} = \frac{d}{dx}(9x^2 - 4) = 18x$

  3. 代入$x=2$
    将$x=2$代入$n$阶导数的表达式：
    $y^{(n)}|_{x=2} = 18 \times 2 = 36$