题目
[例8.24] 求连续函数f(x),使它满足 (x)+2(int )_(0)^xf(t)dt=(x)^2,
题目解答
答案
解析
步骤 1：对原方程两边求导
原方程为 $f(x)+2{\int }_{0}^{x}f(t)dt={x}^{2}$。对两边关于x求导，得到 $f'(x)+2f(x)=2x$。
步骤 2：求解微分方程
得到一阶线性微分方程 $f'(x)+2f(x)=2x$。使用一阶线性微分方程的通解公式，即 $f(x)=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$，其中 $P(x)=2$，$Q(x)=2x$。计算得 $f(x)=e^{-2x}[\int 2xe^{2x}dx+C]$。
步骤 3：计算积分并确定常数
计算积分 $\int 2xe^{2x}dx$，使用分部积分法，设 $u=2x$，$dv=e^{2x}dx$，则 $du=2dx$，$v=\dfrac{1}{2}e^{2x}$。因此，$\int 2xe^{2x}dx=2x\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x}-\int \dfrac{1}{2}e^{2x}\cdot2dx=x\cdot e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$。代入得 $f(x)=e^{-2x}[x\cdot e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C]=x-\dfrac{1}{2}+Ce^{-2x}$。
步骤 4：确定初始条件
由原方程 $f(x)+2{\int }_{0}^{x}f(t)dt={x}^{2}$，令 $x=0$，得 $f(0)=0$。代入 $f(x)=x-\dfrac{1}{2}+Ce^{-2x}$，得 $0=0-\dfrac{1}{2}+C$，从而 $C=\dfrac{1}{2}$。
原方程为 $f(x)+2{\int }_{0}^{x}f(t)dt={x}^{2}$。对两边关于x求导，得到 $f'(x)+2f(x)=2x$。
步骤 2：求解微分方程
得到一阶线性微分方程 $f'(x)+2f(x)=2x$。使用一阶线性微分方程的通解公式，即 $f(x)=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$，其中 $P(x)=2$，$Q(x)=2x$。计算得 $f(x)=e^{-2x}[\int 2xe^{2x}dx+C]$。
步骤 3：计算积分并确定常数
计算积分 $\int 2xe^{2x}dx$，使用分部积分法，设 $u=2x$，$dv=e^{2x}dx$，则 $du=2dx$，$v=\dfrac{1}{2}e^{2x}$。因此，$\int 2xe^{2x}dx=2x\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x}-\int \dfrac{1}{2}e^{2x}\cdot2dx=x\cdot e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$。代入得 $f(x)=e^{-2x}[x\cdot e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C]=x-\dfrac{1}{2}+Ce^{-2x}$。
步骤 4：确定初始条件
由原方程 $f(x)+2{\int }_{0}^{x}f(t)dt={x}^{2}$，令 $x=0$，得 $f(0)=0$。代入 $f(x)=x-\dfrac{1}{2}+Ce^{-2x}$，得 $0=0-\dfrac{1}{2}+C$，从而 $C=\dfrac{1}{2}$。