计算行列式 . -ab ac ae bd -cd de bf cf -ef . ．

考查要点：本题主要考查行列式的计算技巧，特别是通过提取公因子和行变换简化行列式的计算过程。

解题核心思路：

1. 观察行列式的结构，寻找每列的公因子，提取后简化行列式。
2. 分解行列式为多个因子的乘积，逐步化简剩余部分。
3. 利用行列式的性质（如行变换、展开式）计算最终结果。

破题关键点：

• 提取各列的公因子，将原行列式分解为多个因子的乘积。
• 化简剩余行列式，通过行变换或展开式计算其值。

原行列式为：
$\begin{vmatrix}-ab & ac & ae \\bd & -cd & de \\bf & cf & -ef\end{vmatrix}$

步骤1：提取各列的公因子

• 第一列：公因子为 $b$，提取后剩余 $-a, d, f$。
• 第二列：公因子为 $c$，提取后剩余 $a, -d, f$。
• 第三列：公因子为 $e$，提取后剩余 $a, d, -f$。
  因此，原行列式可分解为：
  $bce \cdot \begin{vmatrix}-a & a & a \\d & -d & d \\f & f & -f\end{vmatrix}$

步骤2：提取各行的公因子

• 第一行：公因子为 $a$，提取后剩余 $-1, 1, 1$。
• 第二行：公因子为 $d$，提取后剩余 $1, -1, 1$。
• 第三行：公因子为 $f$，提取后剩余 $1, 1, -1$。
  因此，行列式进一步分解为：
  $bce \cdot adf \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{vmatrix}$

步骤3：计算剩余行列式

展开行列式：
$\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{vmatrix}$
按第一行展开：
$-1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}$
计算各子行列式：

1. $\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 0$
2. $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = (1)(-1) - (1)(1) = -2$
3. $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = (1)(1) - (-1)(1) = 2$
   最终结果为：
   $-1 \cdot 0 - 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 4$

步骤4：合并所有因子

原行列式最终结果为：
$bce \cdot adf \cdot 4 = 4abcdef$