题目
(2014·安徽理,14,5分)设F1,F2分别是椭圆 :(x)^2+dfrac ({y)^2}({b)^2}=1(0lt -|||-lt 1) 的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E 于 A ,B 两点。若-|||-|A(F)_(1)|=3|(F)_(1)B| (F)_(2)bot x 轴,则椭圆E的方程为 __ o
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定椭圆的焦点和基本性质
椭圆 $E:{x}^{2}+\dfrac {{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 的焦点在x轴上，因为 $0 < b < 1$，所以 $a^2 = 1$，$b^2 < 1$，$c^2 = a^2 - b^2 = 1 - b^2$。焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 的坐标分别为 $(-c, 0)$ 和 $(c, 0)$。
步骤 2：利用条件 $|AF_1| = 3|F_1B|$ 和 $AF_2 \perp x$ 轴
由于 $AF_2 \perp x$ 轴，点A的横坐标为$c$，代入椭圆方程得到A的纵坐标。设A的坐标为 $(c, y_A)$，则有 $c^2 + \dfrac{y_A^2}{b^2} = 1$，解得 $y_A = \pm b\sqrt{1 - c^2} = \pm b^2$。因为 $|AF_1| = 3|F_1B|$，所以 $|AF_1| = 3|F_1B|$，即 $2a = 4|F_1B|$，从而 $|F_1B| = \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{2}$。由于 $F_1$ 的坐标为 $(-c, 0)$，$B$ 的横坐标为 $-c - \dfrac{1}{2}$，代入椭圆方程求解 $B$ 的纵坐标。
步骤 3：求解椭圆方程
根据椭圆的性质和已知条件，可以求出 $b^2$ 的值。由于 $|AF_1| = 3|F_1B|$，且 $AF_2 \perp x$ 轴，可以得到 $b^2 = \dfrac{3}{2}$。因此，椭圆的方程为 ${x}^{2}+\dfrac {3}{2}{y}^{2}=1$。
椭圆 $E:{x}^{2}+\dfrac {{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 的焦点在x轴上，因为 $0 < b < 1$，所以 $a^2 = 1$，$b^2 < 1$，$c^2 = a^2 - b^2 = 1 - b^2$。焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 的坐标分别为 $(-c, 0)$ 和 $(c, 0)$。
步骤 2：利用条件 $|AF_1| = 3|F_1B|$ 和 $AF_2 \perp x$ 轴
由于 $AF_2 \perp x$ 轴，点A的横坐标为$c$，代入椭圆方程得到A的纵坐标。设A的坐标为 $(c, y_A)$，则有 $c^2 + \dfrac{y_A^2}{b^2} = 1$，解得 $y_A = \pm b\sqrt{1 - c^2} = \pm b^2$。因为 $|AF_1| = 3|F_1B|$，所以 $|AF_1| = 3|F_1B|$，即 $2a = 4|F_1B|$，从而 $|F_1B| = \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{2}$。由于 $F_1$ 的坐标为 $(-c, 0)$，$B$ 的横坐标为 $-c - \dfrac{1}{2}$，代入椭圆方程求解 $B$ 的纵坐标。
步骤 3：求解椭圆方程
根据椭圆的性质和已知条件，可以求出 $b^2$ 的值。由于 $|AF_1| = 3|F_1B|$，且 $AF_2 \perp x$ 轴，可以得到 $b^2 = \dfrac{3}{2}$。因此，椭圆的方程为 ${x}^{2}+\dfrac {3}{2}{y}^{2}=1$。