已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

步骤 1：构造线性方程组
根据题目中给出的三条直线方程，可以构造一个线性方程组：
\[
\begin{cases}
ax + 2by + 3c = 0 \\
bx + 2cy + 3a = 0 \\
cx + 2ay + 3b = 0
\end{cases}
\]
步骤 2：分析线性方程组的解
三条直线交于一点，等价于上述线性方程组有唯一解。根据线性代数的知识，线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数。
步骤 3：计算系数矩阵和增广矩阵的秩
系数矩阵为：
\[
A = \begin{bmatrix}
a & 2b & 3c \\
b & 2c & 3a \\
c & 2a & 3b
\end{bmatrix}
\]
增广矩阵为：
\[
\overline{A} = \begin{bmatrix}
a & 2b & 3c & 0 \\
b & 2c & 3a & 0 \\
c & 2a & 3b & 0
\end{bmatrix}
\]
步骤 4：计算行列式
为了判断系数矩阵和增广矩阵的秩，计算系数矩阵的行列式：
\[
\det(A) = a(2c \cdot 3b - 3a \cdot 2a) - 2b(b \cdot 3b - 3a \cdot c) + 3c(b \cdot 2a - c \cdot 2b)
\]
\[
= a(6bc - 6a^2) - 2b(3b^2 - 3ac) + 3c(2ab - 2bc)
\]
\[
= 6abc - 6a^3 - 6b^3 + 6abc + 6abc - 6c^3
\]
\[
= 18abc - 6(a^3 + b^3 + c^3)
\]
步骤 5：利用恒等式
利用恒等式 \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)\)，可以得到：
\[
\det(A) = -6(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -6(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)
\]
步骤 6：判断行列式是否为零
当 \(a+b+c=0\) 时，行列式 \(\det(A) = 0\)，此时系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩也为 2，满足线性方程组有唯一解的条件。