2.求微分方程 '=dfrac (y)(x)+tan dfrac (y)(x), 满足 |,x|=dfrac (pi )(6) 的特解.

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量方程，并结合初始条件求特解。

解题核心思路：

1. 识别方程类型：方程右边为$\dfrac{y}{x}$的函数，属于齐次方程。
2. 变量代换：设$u = \dfrac{y}{x}$，将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
3. 分离变量积分：对$u$和$x$分别积分，得到通解。
4. 代入初始条件：确定积分常数，得到特解。

破题关键点：

• 正确进行变量代换，并求出$y'$的表达式。
• 分离变量后正确积分，注意积分结果的化简。
• 代入初始条件时，注意角度单位和三角函数值的计算。

变量代换与方程变形

设$u = \dfrac{y}{x}$，则$y = u x$，对$x$求导得：
$y' = u + x \dfrac{du}{dx}$
将$y'$代入原方程$y' = \dfrac{y}{x} + \tan \dfrac{y}{x}$，得：
$u + x \dfrac{du}{dx} = u + \tan u$
消去两边的$u$，整理得：
$x \dfrac{du}{dx} = \tan u$

分离变量与积分

将方程改写为：
$\dfrac{du}{\tan u} = \dfrac{dx}{x}$
对两边积分：
$\int \dfrac{\cos u}{\sin u} \, du = \int \dfrac{1}{x} \, dx$
左边积分结果为$\ln |\sin u|$，右边积分结果为$\ln |x| + C$，因此：
$\ln |\sin u| = \ln |x| + C$
整理得：
$\sin u = C x$

回代与通解

将$u = \dfrac{y}{x}$代入，得通解：
$\sin \dfrac{y}{x} = C x$

代入初始条件

当$x = 1$时，$y = \dfrac{\pi}{6}$，代入通解：
$\sin \dfrac{\pi/6}{1} = C \cdot 1 \implies \sin \dfrac{\pi}{6} = C \implies C = \dfrac{1}{2}$
因此特解为：
$\sin \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2} x$